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京大理系数学'20年前期[1]

abは実数で、とする。zに関する方程式
・・・()
3つの相異なる解を持ち、それらは複素数平面上で、一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、ab()3つの解を求めよ。

解答 複素数平面上で正三角形の頂点となっている3次方程式の解の考え方は色々あります。ここでは、13乗根の1つ、を使って考えてみます。です。
1辺の長さがの正三角形の外接円の半径をrとすると、正弦定理より、 ∴
αとなる複素数とすると、原点を中心とする半径aの円周上に,それを原点の周りに回転した,さらに回転した3点をとると、正三角形となります。さらに、この3点を複素数平面上でβだけ平行した、が、()の相異なる3解になっているとします。
3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①より、 ∴  ・・・④
よって、
()3解は、になります。 (**)
②より、

 ∴  ・・・⑤
③より、 ・・・⑥
ここで、 ・・・⑦ は実数なので、,よって、も実数ですが、より、 ∴

⑦より、なので、,⑦より、aは実数なので、,⑤より、
 ∴

のとき、(**)3解は、 ・・・⑧, ・・・⑨,
 ・・・⑩
のとき、このαは、を原点の周りに回転させた点なので、(**)3解は、は⑨に一致し、は⑩に一致し、は⑧に一致します。
のとき、このαは、を原点の周りに回転させた点なので、(**)3解は、は⑩に一致し、は⑧に一致し、は⑨に一致します。
以上より、()3解は、 ......[]



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東大理系数学'20年前期[6]

以下の問いに答えよ。
(1) Aαを実数とする。θの方程式
を考える。のとき、この方程式はの範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。
(2) 座標平面上の楕円
C
を考える。また、を満たす実数rに対して、不等式
が表す領域をDとする。D内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数r ()が存在することを示せ。また、そのようなrの最大値を求めよ。
条件:C上の点Qで、QにおけるCの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。

解答 のグラフを描いておいて、のグラフをいろいろ平行移動させ、交点のでき方を調べたり、楕円を描いて、いろいろと接線・法線を引いて、どこから法線を引くと条件を満たすか、など、試験会場でも時間をかけて調べる必要があると思います。こういう問題では、運の良い悪いもかなり影響してしまいます。教えてもらってしまえば大したことでなくても、方程式が本当に4解持つか考えるときなど、鋭い嗅覚で運をつかむことも大切です。

(1) 方程式 ()
とおきます。より、
 ・・・①


 ・・・②
従って、 ()は、の各範囲に少なくとも1解を持ちます。
について、について場合分けします。
,つまり、のとき、
より、
①より、
()は、において、少なくとも1解を持ちます。
,つまり、のとき、より、()の解です。
,つまり、のとき、
より、
②より、
()は、において、少なくとも1解を持ちます。
以上より、のとき、方程式()は、の範囲に少なくとも4個の解を持ちます。

追記.これで、
(1)は示せているわけですが、ここで、鼻を利かせて、だったらどうなるのか、ということを調べてみます。
のとき、の振幅はともに
1になります。のグラフを描いておいて、のグラフをいろいろ平行移動させていくと、だいたい、4交点を持ちそうなのですが、の山の位置が重なったらどういうことになるのか、ということに気づきます。
例えば、のグラフを左に
(方向に)だけ平行移動させると、あたりで山の位置が重なります。そこで、の場合を調べてみます。方程式()は、
となります。和を積に直す公式を用いて変形します。

・・・③ または  ・・・④
・③は、より、,この範囲では、 ∴

・④は、より、,この範囲では、 ∴
このときは、方程式()は、の範囲に3しか持ちません。でなければ、方程式()が必ず4解を持つとは言えないのです。

(2) 楕円C上の点QにおけるCの接線は、
これと垂直な直線は、xyの係数をひっくり返して、片方にマイナスをつけることにより、
 (c:定数) ・・・⑤
これがQを通ることから、
,つまり、
よって、⑤は、
,両辺をで割って、 ・・・⑥
不等式という書き方から、とおいて、 ⑥が楕円上の点を通るとして、
 (加法定理を参照)
θの方程式: ・・・⑦ が、少なくとも4個の解を持つのは、(1)より、,すなわち、のときです。
つまり、となるように
rをとれば、となる全ての点Pについて、条件Cは満たされ、条件Cを満たすrは存在します。
また、のときには、
(1)の追記で述べたように、となって、⑦が4解持たない場合があるので、求めるrの最大値は ......[]



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東大理系数学'20年前期[5]

座標空間において、xy平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし、点を頂点とする円錐(内部を含む)Sとする。また、点Aを考える。
(1) PSの底面を動くとき、線分APが通過する部分をTとする。平面によるSの切り口および、平面によるTの切り口を同一平面上に図示せよ。
(2) PSを動くとき、線分APが通過する部分の体積を求めよ。

解答 直円錐Sを、底面の円に平行な平面で切るときは、切り口は円で、円の半径は、相似比が21であることから、になります。斜円錐についても、底面の円に平行な平面での切り口は円になる、ということなどを知っていれば、相似比を考えて要領よく解答できますが、ここではそうした知識なしで考えてみます。

(1) xy平面上で、原点を中心とする半径1の円上の点Pの座標は、媒介変数θを用いて、Pと表せます。円錐の内部を考えるので、この円内の点を考えることになります。
空間内で線分の通過範囲を考えるときには、直線のベクトル方程式を考えます。直線APの方向ベクトルは、
直線APは、点Aを通るので、線分AP上の点の座標は、
 ()
平面による切り口を考えるので、とすると、,よって、
平面上の点を
xy平面までz軸と平行に平行移動させ、θを消去すると、より、
 (円の方程式を参照)
これは、を中心とする半径の円です。Sの平面による切り口は、原点を中心とする半径の円となります。円錐の内部を含めるので、図示すると、右図黄緑色着色部。

(2) PSを動くとき、線分APが通過する部分をDとします。直円錐Szx平面で切ると、右図のような断面ができますが、側で境界となる稜線の方程式は、 ・・・① です。
直円錐を平面 ()で切ると円になりますが、①でとして、 ・・・②,これが切り口の円の半径になります。
この切り口の円上に点
Pをとると、その座標はPとなります。円錐の内部を含めるので、この円と円内の点を考えることになります。直線APの方向ベクトルは、
直線APは、点Aを通るので、線分AP上の点の座標は、
 ()
線分APが通過する部分Dを平面で切ると、として、
線分APの通過する部分を考えるので、切断面は、点Pの存在している平面から上にあります。つまり、です。
の場合、または、の場合は、
Dを平面で切った断面は、線分、もしくは、1Aのみで、いずれも断面積は0です。
平面上の点を
xy平面までz軸と平行に平行移動させると、線分APと平面との交点は、中心,半径の円を描きます。この半径は、点Pz座標uには依存せず、②より直円錐Sを平面で切ったときの断面の円の半径と同じです。ここでは、計算して確かめましたが、こうしたことを知識として持っている受験生は、上記の検討は不要です。
より、円の中心の
x座標は、cを固定し、uの関数とみて0からcまでuを動かすと、から0まで単調に減少します。
の範囲で
uを動かすとき、半径の円の中心がからまで、円周および円の内部も含めて動くことになり、Dを平面で切ったときの断面は右図黄緑色着色部になります。
この面積は、
2辺がの長方形の面積と、半径の円の面積の和となり、
 (ですが、この式でなので、としてOKです)
D体積Vは、
......[]



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東大理系数学'20年前期[4]

nkを、を満たす整数とする。n個の整数
()
から異なるk個を選んでそれらの積をとる。k個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の積の和をとおく。例えば、
である。
(1) 2以上の整数nに対し、を求めよ。
(2) 1以上の整数nに対し、xについての整式
を考える。xについての整式として表せ。
(3) nkで表せ。

解答 眼力ある受験生なら、基本対称式、例えば、のでき方を思い出せるかも知れませんが、一般の受験生では、いきなりこの問題を見せられても、何も見えず、どこから手を付ければよいかさえわからないかも知れません。こういうときは、nkに数値を代入して、感覚をつかむところから始めます。
まず、のとき、
1個の整数、から異なる1個を選んで積をとると、個の積の和は、となります。後で、見通しをよくするために、と書かないで、問題文の例の通り、と書くようにします。問題文がヒントになっているのです。
のとき、
2通りの可能性があります。2個の整数は、として、です。のときは、2個から1個を選んで積をとると、個の積の和は、 ()となります。のときは、2個から2個を選んで積をとると、個の積の和は、 ()となります(組み合わせを参照)
のとき、k = 1233通りの可能性があります。3個の整数は、として、です。
のとき、3個から1個を選んで積をとって和をとると、 ()
のとき、3個から2個を選んで積をとって和をとると、 ()
のとき、3個から3個を選んで積をとって和をとると、 ()
のとき、4個の整数は、です。は問題文に出ていますが、 () () () ()

(1) 上記で、個の積の和から考えると個の積の和は、
 (等比数列を参照)

......[]
nに数値代入すると、

(2) xの整式で表される、ということは、は、でも、でも割り切れる、ということです。

と、因数分解できるので、で割り切れて、
より、
で割り切れて、
さらに、

と、因数分解できるので、より、
これで、問題の背景が見えてきます。を証明します。

()は、n個の整数から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある)の和です。つまり、
・・・・・・

()は、個の整数から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある)の和です。
 ・・・①
まず、xの係数は、
の係数は、

()の係数は、
つまり、n個の整数から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある)の和、と、
n個の整数から異なる個を選んで積をとり、個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある)の各々にをかけたのもの
との和になっていて、結局、
個の整数から異なる
k個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある、に注意)の和
になっているので、
 ・・・②
の係数は、
これより、①は、
従って、
......[] ・・・③
,③を繰り返して用いることにより、
よって、 ......[] ・・・④

(3) ④より、

の係数は、 ・・・⑤
②で
kに代えると、,よって、,⑤に代入すると、


......[]



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東大理系数学'20年前期[3]

を満たす実数tに対して

とする。座標平面上の点Pを考える。
(1) におけるtの関数は単調に減少することを示せ。
(2) 原点とPの距離をとする。におけるtの関数の増減を調べ、最大値を求めよ。
(3) tを動くときのPの軌跡をCとし、Cx軸で囲まれた領域をDとする。原点を中心としてDを時計回りに回転させるとき、Dが通過する領域の面積を求めよ。

解答 (1)は直線OPの傾きです。tから1まで変化するとき、直線OPの傾きが単調に減少する、ということは、直線OPは時計回りに回るだけ(逆回りには動かない)、と言っています。

(1) を平凡に微分する(商の微分法合成関数の微分法を参照)と、
実は、ここで困ることがあります。問題文では、となっているのに、において導関数が定義できないのです。範囲をとしてくれていればよいのに、出題者が少し意地悪をしています。
そこで、答案を書くときには、を使わずに、以下のように、違う視点から書く必要があります。
と書くと、の範囲では単調に増加するので、は単調に減少し、も単調に減少し、は単調に減少する。

(2)
陰関数の微分法で微分します。

,また、においてなので、における増減表は、
t

1
×0
0

増減表より、の最大値は、のとき、 ......[]
このとき、です。

(3) グラフの概形を確認しておきます。

増減表は、以下のようになります。
t

1


x0

0
y00
 
(1)(2)も考慮して、Cの概形は右図のようになります(媒介変数表示された関数のグラフを参照)
これを時計回りに回転すると、
Cの通過部分は、右図黄緑色着色部のようになります。
C上で原点から最も遠い点は、半径の円弧のを描いて、図の点に来ます。曲線Cの端点は図の点に来ます。黄緑色着色部のうち、線分,弧y軸で囲まれた部分は、線分,弧x軸に囲まれた部分と重なります。従って、求める面積Sは、曲線Cx軸で囲む面積と半径の円の面積のを合わせたものになります。よって、
により置換積分を行うと、xのとき、tより、
ここで、は半径1の円の面積のに等しくは、被積分関数が奇関数で0,よって、 .......[]



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