(
)とx軸で囲まれた部分を
とする。直線
を
とおき、
の周りに
を1回転させてできる回転体を
とする。
に対して、点
をPとおく。また、Pから
に下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQを
の周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。
の体積をnの式で表せ。
に下ろした垂線の足をHとして、この垂線は、傾き1で点P
を通るので、直線上の点を
として、
，
･･･①
として、
，つまり、Q
の周りに1回転させると、P，Qは、それぞれHを中心として、半径HP，半径HQの円周
，
を描くので、両円周に挟まれた領域となります。
：
と①の交点Hのx座標は、両式を連立し、
，
･･･②
，
，よって、
は、
の面積から
の面積を引いて、
......[答]
を求めた図形の回転軸は直線
であって、x軸ではないので、
としても回転体の体積は求められません。回転体の体積を求めるためには、回転体の回転軸に垂直な断面の面積
を、回転軸(本問では、直線
)に沿って積分しなければなりません。
に沿って原点からの距離はOHなので、求める体積は、
となります。
......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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，A
，B
，C
，P
，
に対して2点Q
とR
を考える。
の範囲を座標平面上に図示せよ。
)上で、直線ACと直線PQとの交点として、Tの座標は、
∴ 
②より、
......[答] (
，
)
)上で、直線BCと直線PRとの交点として、Sの座標は、
･･･③
･･･④
∴ 
④より、
......[答] (
，
)
(2) T，Sは、平面H上の点なので、Q，R，S，Tはいずれも平面H上の点です。また、P，Q，Tは一直線上(zx平面と平面Hの交線上)、P，R，Sは一直線上(yz平面と平面Hの交線上)にあります。平面H上で考えると、四角形QRSTが円に内接する必要十分条件は、
と
が互いに補角をなすこと、で、このとき、△PQRと△PSTにおいて、
，
より
，また
共通より、
，
，
，
，
，
，
，
･･･⑥，または、
(
，
)
⑥は、
のとき
，
のとき
，漸近線は
，
，または、
(
，
) ......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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)の性質、
，
をフル活用します。
回転する(複素数の回転を参照)と点C
なので、
とおくと、
⇔ 
⇔ 
⇔ 
より、
として、
，
，
，
，
より、
，
より、
，
，
，これらを使って、
･･･①
･･･②
･･･③
......[答]
･･･④
･･･⑤
･･･⑥
......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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の値が、3を法として2に合同である正の整数xをすべて求めよ。
，･･･，
に対して、
(
)
，･･･，
をすべて求めよ。ここでk個の連続した整数とは、
，
，
，･･･，
の方にカギがありそうです。理論的に迫る方法が見つからないときは、シラミ潰しに調べていきます。
，
，
，･･･
とか
が答になる、とわかってしまいます。ならば、
より広げ、片っ端から調べて、xに対して、
，
を3で割った余りを表にすると、以下のようになります。| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
 | 23 | 21 | 17 | 11 | 3 | 7 | 19 | 33 | 49 | 67 | 87 | 109 |
| 3で割った余り | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
の範囲では、3で割り切れるとき以外は余りが2，
の範囲では、3で割り切れるとき以外は余りが1になっているように見えます。
の範囲については、確かめておく必要があります。
(mod. 3) (合同式の性質を参照)より、
(mod. 3)，または、
(mod. 3)のとき、
(mod. 3)，
(mod. 3)
(mod. 3)のとき、
(mod. 3)より、
(mod. 3)，
(mod. 3)
のとき、
(mod. 3)となることはありません。
については、上記の表より、
(mod. 3)となるのは、
......[答] のとき。 
の欄に素数が並ぶのは、
から
までのところで、17，11，3，7，19の5個の素数が並びます。ですが、
においては、(1)(ii)で見たように、3個に1個は3の倍数(xが3で割って2余るとき)なので、5個以上整数が並ぶことはありません。
のときは、
のとき、
が最大となり、k個の連続した正の整数
，･･･，
に対して、
(
)の値17，11，3，7，19はすべて素数です。
の場合は、(1)(ii)により、3個の連続した正の整数
，
，
に対する
(
)の値のいずれかは3の倍数となり、5個以上素数が続くことはありません。
に対する正の整数は、3，4，5，6，7 ......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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(
)
のグラフからして、どんなグラフになるのかはっきりしません。
のグラフ(対数関数を参照)も、
のグラフ(無理関数を参照)も、単調増加で上に凸なグラフなので、多分、合成関数の
のグラフ(本問の曲線は、yでなくてzですが)も、単調増加で上に凸なグラフだろう、くらいで話を進めます。
において、
は、
･･･①
(
)をz軸のまわりに1回転させるとき、Sのz軸に垂直な断面は、z軸上の点を中心とする円になります。z座標がzのところでは、円の半径(曲線上の点とz軸との距離)は、
，
より、
となります。
･･･②
のところでは、②の円は1点
のみになり、zの最大値
のところでは、②の円は
･･･③ となります。
Sを平面
(
)で切った断面は右図黄緑色部分のようになり、Sをx軸のまわりに回転させたとき、回転軸x軸に最も近い点は、元々の曲線
上の点P
です。この点とx軸との距離の2乗は
，回転軸x軸から最も遠い点は、③で
として、
より、円③上の点Q
です(図では、複合が＋の方をQと書いています)。この点とx軸との距離の2乗は、
の外側の円から、面積
の内側の円を除いた図形となり、断面積
は、
は(立体の体積を参照)、立体Vがyz平面に関して対称であることに注意して、
(不定積分の公式を参照)
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Author:kgkrkgk
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をOHで積分できないので、OHをxで表して
，
･･･① (
･･･②
⇔ 
とすると、
，
なので、
，
です。