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東大理系数学'20年前期[6]

以下の問いに答えよ。
(1) Aαを実数とする。θの方程式
を考える。のとき、この方程式はの範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。
(2) 座標平面上の楕円
C
を考える。また、を満たす実数rに対して、不等式
が表す領域をDとする。D内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数r ()が存在することを示せ。また、そのようなrの最大値を求めよ。
条件:C上の点Qで、QにおけるCの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。

解答 のグラフを描いておいて、のグラフをいろいろ平行移動させ、交点のでき方を調べたり、楕円を描いて、いろいろと接線・法線を引いて、どこから法線を引くと条件を満たすか、など、試験会場でも時間をかけて調べる必要があると思います。こういう問題では、運の良い悪いもかなり影響してしまいます。教えてもらってしまえば大したことでなくても、方程式が本当に4解持つか考えるときなど、鋭い嗅覚で運をつかむことも大切です。

(1) 方程式 ()
とおきます。より、
 ・・・①


 ・・・②
従って、 ()は、の各範囲に少なくとも1解を持ちます。
について、について場合分けします。
,つまり、のとき、
より、
①より、
()は、において、少なくとも1解を持ちます。
,つまり、のとき、より、()の解です。
,つまり、のとき、
より、
②より、
()は、において、少なくとも1解を持ちます。
以上より、のとき、方程式()は、の範囲に少なくとも4個の解を持ちます。

追記.これで、
(1)は示せているわけですが、ここで、鼻を利かせて、だったらどうなるのか、ということを調べてみます。
のとき、の振幅はともに
1になります。のグラフを描いておいて、のグラフをいろいろ平行移動させていくと、だいたい、4交点を持ちそうなのですが、の山の位置が重なったらどういうことになるのか、ということに気づきます。
例えば、のグラフを左に
(方向に)だけ平行移動させると、あたりで山の位置が重なります。そこで、の場合を調べてみます。方程式()は、
となります。和を積に直す公式を用いて変形します。

・・・③ または  ・・・④
・③は、より、,この範囲では、 ∴

・④は、より、,この範囲では、 ∴
このときは、方程式()は、の範囲に3しか持ちません。でなければ、方程式()が必ず4解を持つとは言えないのです。

(2) 楕円C上の点QにおけるCの接線は、
これと垂直な直線は、xyの係数をひっくり返して、片方にマイナスをつけることにより、
 (c:定数) ・・・⑤
これがQを通ることから、
,つまり、
よって、⑤は、
,両辺をで割って、 ・・・⑥
不等式という書き方から、とおいて、 ⑥が楕円上の点を通るとして、
 (加法定理を参照)
θの方程式: ・・・⑦ が、少なくとも4個の解を持つのは、(1)より、,すなわち、のときです。
つまり、となるように
rをとれば、となる全ての点Pについて、条件Cは満たされ、条件Cを満たすrは存在します。
また、のときには、
(1)の追記で述べたように、となって、⑦が4解持たない場合があるので、求めるrの最大値は ......[]



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