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東工大数学'20年前期[4]

nを正の奇数とする。曲線 ()x軸で囲まれた部分をとする。直線とおき、の周りに1回転させてできる回転体をとする。
(1) に対して、点Pとおく。また、Pからに下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQの周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。
(2) (1)の結果を用いて、回転体の体積をnの式で表せ。

解答 斜回転体の問題です。誘導が付いているので、解いた経験があれば、特に問題はないでしょう。計算ミスに注意します。

(1) Pからに下ろした垂線の足をHとして、この垂線は、傾き1で点Pを通るので、直線上の点をとして、
 ・・・①
x軸との交点は、として、,つまり、Q
線分PQの周りに1回転させると、PQは、それぞれHを中心として、半径HP,半径HQの円周を描くので、両円周に挟まれた領域となります。
と①の交点
Hx座標は、両式を連立し、
 ・・・②
右図で、直線①の傾きは1なので、,よって、

求める面積は、の面積からの面積を引いて、
......[]

(2) (1)で面積を求めた図形の回転軸は直線であって、x軸ではないので、としても回転体の体積は求められません。回転体の体積を求めるためには、回転体の回転軸に垂直な断面の面積を、回転軸(本問では、直線)に沿って積分しなければなりません。に沿って原点からの距離はOHなので、求める体積は、となります。
このままでは、OHで積分できないので、OHxで表して置換積分します。
②より、
従って、
ここで(部分積分法を参照)

これより、 ......[]



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