東工大数学20年前期[3]

東工大数学'20年前期[3]

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座標空間に5点

O，A，B，C，P

をとる。さらに、，に対して2点QとRを考える。

(1) 点P，Q，Rを通る平面をHとする。平面Hと線分ACの交点Tの座標、および平面Hと線分BCの交点Sの座標を求めよ。

(2) 点Q，R，S，Tが同一円周上あるための必要十分条件をa，bを用いて表し、それを満たす点の範囲を座標平面上に図示せよ。

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解答　本問は、空間図形のまま考察しようとすると、複雑になります。空間図形の問題では、平面上の話で考察できないか、ということをまず考えます。(1)では、Tを求めるときはxz平面上で、Sを求めるときはyz平面上で考えます。(2)では、空間上の4点では難しいですが、平面H上で考えれば、四角形が円に内接する条件でしかありません。

(1) 平面Hとxz平面との交線は直線PQです。直線ACもxz平面上にあるので、交点Tもxz平面上にあります。つまり、xz平面()上で、直線ACと直線PQとの交点として、Tの座標は、

直線PQ：　･･･①　(直線の方程式を参照)
直線AC：　･･･②

①＋②×2より、　∴ 　②より、

T ......[答]　(，)

平面Hとyz平面との交線は直線PRです。直線BCもyz平面上にあるので、交点Sもyz平面上にあります。つまり、yz平面()上で、直線BCと直線PRとの交点として、Sの座標は、

直線PR：　･･･③
直線BC：　･･･④

③＋④×2より、　∴ 　④より、

S ......[答] 　(，)

(2) T，Sは、平面H上の点なので、Q，R，S，Tはいずれも平面H上の点です。また、P，Q，Tは一直線上(zx平面と平面Hの交線上)、P，R，Sは一直線上(yz平面と平面Hの交線上)にあります。平面H上で考えると、四角形QRSTが円に内接する必要十分条件は、とが互いに補角をなすこと、で、このとき、△PQRと△PSTにおいて、，より，また共通より、

△PQR ∽ △PST (二角相等)

⇔　PQ：PS = PR：PT　･･･⑤

，，，
，，，

⑤より、

，

よって、　･･･⑥，または、　(，)
⑥は、

のとき，のとき，漸近線は，

点Q，R，S，Tが同一円周上あるための必要十分条件は、

，または、 (，) ......[答]

図示すると、右図太線(白マルを除く)

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