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東工大数学'20年前期[1]

次の問いに答えよ。
(1) の値が、3を法として2に合同である正の整数xをすべて求めよ。
(2) k個の連続した正の整数,・・・,に対して、
()
の値がすべて素数になるkの最大値と、そのkに対する連続した正の整数,・・・,をすべて求めよ。ここでk個の連続した整数とは、
,・・・,
となる列のことである。

解答 3を法として2に合同、ということは、3で割って2余るということです。23はどこから来ているのだろう、と、思いますが、の方にカギがありそうです。理論的に迫る方法が見つからないときは、シラミ潰しに調べていきます。

(1) とすると、なので、です。絶対値記号の内側が負になる正の整数xの範囲は、
,・・・
これで、とかが答になる、とわかってしまいます。ならば、より広げ、片っ端から調べて、xに対して、3で割った余りを表にすると、以下のようになります。
x123456789101112
23211711371933496787109
3で割った余り202201101101

この表で、ほぼ問題の全容が見えてしまいます。3回に1回の割で3で割った余りが0になり、の範囲では、3で割り切れるとき以外は余りが2
の範囲では、
3で割り切れるとき以外は余りが1になっているように見えます。
の範囲については、確かめておく必要があります。
(mod. 3) (合同式の性質を参照)より、
i) (mod. 3),または、 (mod. 3)のとき、
(mod. 3) (mod. 3)
ii) (mod. 3)のとき、 (mod. 3)より、
(mod. 3) (mod. 3)
これより、のとき、 (mod. 3)となることはありません。
については、上記の表より、
(mod. 3)となるのは、
......[] のとき。

(2) (1)の表で、の欄に素数が並ぶのは、からまでのところで、171137195個の素数が並びます。ですが、においては、(1)(ii)で見たように、3個に1個は3の倍数(x3で割って2余るとき)なので、5個以上整数が並ぶことはありません。
つまり、のときは、のとき、が最大となり、k個の連続した正の整数,・・・,に対して、 ()の値17113719はすべて素数です。の場合は、(1)(ii)により、3個の連続した正の整数に対する ()の値のいずれかは3の倍数となり、5個以上素数が続くことはありません。
よって、求める
kの最大値は5対する正の整数は、34567 ......[]



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