苦学楽学塾京大理系数学20年前期[5]　－理工系大学入試問題研究(東大・東工大・京大・早慶)

京大理系数学20年前期[5]

京大理系数学'20年前期[5]

縦4個、横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の1例である。

1	2	3	4
3	4	1	2
4	1	2	3
2	3	4	1

解答　対称性を考慮して場合の数を数えます。

(i) まず、1行目の4文字の入れ方は、異なる4個のものの順列となり、

通り。　･･･①

1，2，3，4の数字を入れ替えて考えるときの対称性より、この24通りの各1通りについて、2行目以降の数字の入れ方は、同数ずつあります。そこで、24通りのうちの1通り、1行目に例えば、1，2，3，4と入れた場合を考えます。

(ii) 2行目は、1列目には1を入れることができないので、1を入れる位置は、2列目、3列目、4列目の3通りあります。　･･･②

2，3，4の数字を入れ替えて考えるときの対称性より、この3通りの各1通りについて、1を入れた以降の数字の入れ方は、同数ずつあります。
そこで、2行目の2列目に1を入れた場合を考えます。
2行目に2を入れる位置は、1列目、3列目、4列目の3通りありますが、この3通りについては、1行目の1の下の1列目と、1行目の3と4の下の3列目と4列目とでは、違いがあります。1はすでに2行目2列目に入っていますが、3と4はまだ2行目に入っていないからです。そこで、2行目に2を入れる位置について、1列目に入れる場合と、3列目4列目に入れる場合とで別に考えます。

(iii) まず、1行目の1の下の2行目1列目に2を入れると、1行目の4の下の2行目4列目には4を入れることができないので、2行目は下図のように、ただ1通りに確定します。

1	2	3	4
2	1	4	3

3行目の入れ方は、1と2，3と4の入れ替えにより、次の4通りに限られ、それに応じて、4行目も確定します。　･･･③

1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	1	2
4	3	2	1

1	2	3	4
2	1	4	3
4	3	1	2
3	4	2	1

1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	2	1
4	3	1	2

1	2	3	4
2	1	4	3
4	3	2	1
3	4	1	2

(iv) 1行目の3，4の下、2行目の3列目に2を入れる場合と、4列目に2を入れる場合とは、3と4を入れ替えて考えるときの対称性より、同数ずつあります。そこで、2を3列目に入れた場合を考えます。1行目の4の下にの2行目4列目には4は入らないので、2行目はただ1通りに確定し、これ以降、3行目に、1が3列目に入るか4列目に入るかによって以下の2通りあります。　･･･④

1	2	3	4
4	1	2	3
3	4	1	2
2	3	4	1

1	2	3	4
4	1	2	3
2	3	4	1
3	4	1	2

(iii)で、③より、2行目1列目に2を入れるときが4通り、④より、2行目3列目、4列目に2を入れるときがそれぞれ2通り、合わせて、2行目の2の入れ方により、

通りあります。
②より、2行目の1の入れ方が3通り、この3通りの各1通りについて以降が8通りあるので、2行目以降、

通りあります。
①より、1行目の数字の並び方は24通りあり、この各1通りについて2行目以降が24通りあるので、数字の入れ方は、

通り ......[答]

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