京大理系数学20年前期[4]

京大理系数学'20年前期[4]

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正の整数aに対して、

(b，cは整数でcは3で割り切れない)

の形に書いたとき、と定める。例えば、である。

m，nは整数で、次の条件を満たすとする。

(i)
(ii)
(iii) nは3で割り切れない。
このようなについて

とするとき、

の最大値を求めよ。また、の最大値を与えるようなをすべて求めよ。

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解答　はaを素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。はを素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
整数問題は、巧妙な解法が思い浮かべばそれで進めればよいのですが、有効な方法が思いつかないときは、シラミつぶしで行くことになります。とは言え、本問ではのすべての場合が、通りもあるので、全部を調べるわけには行きません。調べる場合の数を減らす工夫として、剰余を考える方法があります。
m，nにいくつか数値代入してみると、なので、，なので、とわかります。の最大値は少なくとも2以上です。　･･･①
mを3で割り商がk ()，余りがとして、つまり、として、
を9で割った余りがであることと①とから、を9で割った余りを考えることにします。

(1) のとき、 (mod. 9)，のとき、 (mod. 9)，のとき、 (mod. 9)

(2) とおくと、問題文の条件(iii)より、

(mod. 9)のとき、 (mod. 9)， (mod. 9)のとき、 (mod. 9)，
(mod. 9)のとき、 (mod. 9)，のとき、 (mod. 9)，
(mod. 9)のとき、 (mod. 9)，のとき、 (mod. 9)

(1)と(2)の組み合わせで、が9で割り切れる可能性があるのは、かつ (mod. 9)の場合だけです。
以下、，とします。
の範囲では、 (mod. 9)となるのは、の場合です。
のとき、，， は3で割り切れません。このとき、
のとき、，　･･･②
の中で、が3で割り切れるのは、(つまり、)のときで、②より、，，，，，，，
のとき、，，は3で割り切れません。
のとき、，，は3で割り切れません。
以上より、の最大値は4，そのときの ......[答]

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