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京大理系数学'20年前期[3]

kを正の実数とする。座標空間において、原点Oを中心とする半径1の球面上の4ABCDが次の関係式を満たしている。


このとき、kの値を求めよ。ただし、座標空間の点XYに対して、は、の内積を表す。

解答 4ABCD は、原点を中心とする半径1の球面上の点なので、,また、 (空間ベクトルを参照)より、,つまり、,同様に、
従って、△
OAB,△OCDは、1辺の長さ1の正三角形です。
また、問題文の条件式で、そのまま
ABを入れ替えてみます。
条件に変化はありません。ですが、問題文の条件式でCDを入れ替えると、
となり、でもない限り条件が変化してしまいます。つまり、ABには対称性があって、ABの垂直二等分面(2ABの中点をMとすると、Mを通り直線ABに垂直な面、この面をHとします)について対称な位置にあります。CDには対称性はありません。
Oは垂直二等分面H上にあります。そうでなければ、ABを入れ替えると、の値が変化してしまいます。
Cと点Dも、同じ理由で、ABを入れ替えたときに、の値が変化してしまうので、垂直二等分面H上にあります。
空間の問題をできる限り容易に解くための技巧として、ある断面上で平面の問題として考える、という技巧があります。本問も、垂直二等分面
H上で、平面ベクトルの問題として考えます。

OMCD は同一平面H上にあり、一次独立なので、は、cdを実数として、の一次結合で表されます。
 ・・・①
OMは、1辺の長さ1の正三角形の頂点Oから対辺ABに下ろした垂線なので、です。
 ・・・②
また、より、①を用いて、
 ∴  ・・・③
②に代入して、

③より、
①より、

 ・・・④ (ここまで、複合同順)
一方、内積の値は、空間ベクトルでも平面ベクトルでも変わらないので、問題文の条件より、
④においてより、 ......[]



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