京大理系数学20年前期[3]

京大理系数学'20年前期[3]

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kを正の実数とする。座標空間において、原点Oを中心とする半径1の球面上の4点A，B，C，Dが次の関係式を満たしている。

，
，
．

このとき、kの値を求めよ。ただし、座標空間の点X，Yに対して、は、との内積を表す。

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解答　4点A，B，C，D は、原点を中心とする半径1の球面上の点なので、，また、 (空間ベクトルを参照)より、，つまり、，同様に、
従って、△OAB，△OCDは、1辺の長さ1の正三角形です。
また、問題文の条件式で、そのままAとBを入れ替えてみます。

，，

条件に変化はありません。ですが、問題文の条件式でCとDを入れ替えると、

，，

となり、でもない限り条件が変化してしまいます。つまり、AとBには対称性があって、AとBの垂直二等分面(2点A，Bの中点をMとすると、Mを通り直線ABに垂直な面、この面をHとします)について対称な位置にあります。CとDには対称性はありません。
点Oは垂直二等分面H上にあります。そうでなければ、AとBを入れ替えると、の値が変化してしまいます。
点Cと点Dも、同じ理由で、AとBを入れ替えたときに、，，，の値が変化してしまうので、垂直二等分面H上にあります。
空間の問題をできる限り容易に解くための技巧として、ある断面上で平面の問題として考える、という技巧があります。本問も、垂直二等分面H上で、平面ベクトルの問題として考えます。

O，M，C，D は同一平面H上にあり、，は一次独立なので、は、c，dを実数として、，の一次結合で表されます。

　･･･①

OMは、1辺の長さ1の正三角形の頂点Oから対辺ABに下ろした垂線なので、です。

　･･･②

また、より、①を用いて、

　∴ 　･･･③

②に代入して、

，
∴ ，

③より、
①より、

　･･･④　(ここまで、複合同順)

一方、内積の値は、空間ベクトルでも平面ベクトルでも変わらないので、問題文の条件より、

④において、より、 ......[答]

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