早大理工数学20年[1]

早大理工数学'20年[1]

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複素数α，β，γがかつを満たすとき、以下の問に答えよ。

(1) α，β，γを表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。

(2) の値を求めよ。

(3) nを3で割り切れない自然数とするときの値を求めよ。

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解答　という条件は、α，β，γが表す点が単位円上にあることを示しています。は、3点α，β，γでできる三角形の重心が原点であることを示しています。

(1) 対称性により各辺の垂直二等分線が原点を通ることから、三角形の外心も原点になります。重心と外心が一致する三角形は正三角形、と言えますが、ここでは、計算でやってみます。

3辺の長さを調べてみます。

　･･･①

をどこかからひねり出す必要がありますが、より、，よって、

∴

①より、

同様に、，より、，，より、

よって、3辺の長さが等しく、α，β，γが表す3点で正三角形をなすことになります。

(2) α，β，γが表す3点が、この順に反時計回りに並んでいるとして一般性を失いません。

(1)より、として、ですが、βはαを原点の回りに回転させた点、γはαを原点の回りに回転させた点で、

，

と表されます。

，，

よって、 ......[答]

(3) nが3で割り切れない自然数であることから、，として、とおくと、より、，より、なので、

のとき、
のとき、
よって、 ......[答]

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