東工大数学'20年前期[4]

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nを正の奇数とする。曲線 ()とx軸で囲まれた部分をとする。直線をとおき、の周りにを1回転させてできる回転体をとする。

(1) に対して、点をPとおく。また、Pからに下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQをの周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。

(2) (1)の結果を用いて、回転体の体積をnの式で表せ。

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解答　斜回転体の問題です。誘導が付いているので、解いた経験があれば、特に問題はないでしょう。計算ミスに注意します。

(1) Pからに下ろした垂線の足をHとして、この垂線は、傾き1で点Pを通るので、直線上の点をとして、

，　･･･①

x軸との交点は、として、，つまり、Q
線分PQをの周りに1回転させると、P，Qは、それぞれHを中心として、半径HP，半径HQの円周，を描くので、両円周に挟まれた領域となります。
：と①の交点Hのx座標は、両式を連立し、

，　･･･②

右図で、直線①の傾きは1なので、，，よって、

求める面積は、の面積からの面積を引いて、

......[答]

(2) (1)で面積を求めた図形の回転軸は直線であって、x軸ではないので、としても回転体の体積は求められません。回転体の体積を求めるためには、回転体の回転軸に垂直な断面の面積を、回転軸(本問では、直線)に沿って積分しなければなりません。に沿って原点からの距離はOHなので、求める体積は、となります。

このままでは、をOHで積分できないので、OHをxで表して置換積分します。
②より、，
従って、

ここで(部分積分法を参照)、

これより、 ......[答]

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東工大数学'20年前期[3]

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座標空間に5点

O，A，B，C，P

をとる。さらに、，に対して2点QとRを考える。

(1) 点P，Q，Rを通る平面をHとする。平面Hと線分ACの交点Tの座標、および平面Hと線分BCの交点Sの座標を求めよ。

(2) 点Q，R，S，Tが同一円周上あるための必要十分条件をa，bを用いて表し、それを満たす点の範囲を座標平面上に図示せよ。

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解答　本問は、空間図形のまま考察しようとすると、複雑になります。空間図形の問題では、平面上の話で考察できないか、ということをまず考えます。(1)では、Tを求めるときはxz平面上で、Sを求めるときはyz平面上で考えます。(2)では、空間上の4点では難しいですが、平面H上で考えれば、四角形が円に内接する条件でしかありません。

(1) 平面Hとxz平面との交線は直線PQです。直線ACもxz平面上にあるので、交点Tもxz平面上にあります。つまり、xz平面()上で、直線ACと直線PQとの交点として、Tの座標は、

直線PQ：　･･･①　(直線の方程式を参照)
直線AC：　･･･②

①＋②×2より、　∴ 　②より、

T ......[答]　(，)

平面Hとyz平面との交線は直線PRです。直線BCもyz平面上にあるので、交点Sもyz平面上にあります。つまり、yz平面()上で、直線BCと直線PRとの交点として、Sの座標は、

直線PR：　･･･③
直線BC：　･･･④

③＋④×2より、　∴ 　④より、

S ......[答] 　(，)

(2) T，Sは、平面H上の点なので、Q，R，S，Tはいずれも平面H上の点です。また、P，Q，Tは一直線上(zx平面と平面Hの交線上)、P，R，Sは一直線上(yz平面と平面Hの交線上)にあります。平面H上で考えると、四角形QRSTが円に内接する必要十分条件は、とが互いに補角をなすこと、で、このとき、△PQRと△PSTにおいて、，より，また共通より、

△PQR ∽ △PST (二角相等)

⇔　PQ：PS = PR：PT　･･･⑤

，，，
，，，

⑤より、

，

よって、　･･･⑥，または、　(，)
⑥は、

のとき，のとき，漸近線は，

点Q，R，S，Tが同一円周上あるための必要十分条件は、

，または、 (，) ......[答]

図示すると、右図太線(白マルを除く)

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東工大数学'20年前期[2]

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複素数平面上の異なる3点A，B，Cを複素数α，β，γで表す。ここでA，B，Cは同一直線上にないと仮定する。

(1) △ABCが正三角形となる必要十分条件は、

であることを示せ。

(2) △ABCが正三角形のとき、△ABCの外接円上の点Pを任意にとる。このとき、

および

を外接円の半径Rを用いて表せ。ただし、2点X，Yに対し、XYとは線分XYの長さを表す。

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解答　1の3乗根ω()の性質、，をフル活用します。

(1) 題意の条件の下に、

△ABCが正三角形 ⇔ 点Aの周りに点Bを回転する(複素数の回転を参照)と点C

⇔

ここで、なので、とおくと、

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

従って、 ⇔
展開して整理すると、
∴
よって、△ABCが正三角形となる必要十分条件(条件・命題を参照)は、

(2) △ABCの外接円の中心が原点Oで、円上に反時計回りにA，B，Cの順に並んでいるとして、一般性を失いません。△ABCが正三角形のとき、より、として、，，

また、，，より、，より、，，
Pを表す複素数をpとして、，これらを使って、

　･･･①

　･･･②

　･･･③

①＋②＋③より、 ......[答]

　･･･④

　･･･⑤

　･･･⑥

④＋⑤＋⑥より、

......[答]

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