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東工大数学20年前期[4]
東工大数学
'20
年前期
[4]
n
を正の奇数とする。曲線
(
)
と
x
軸で囲まれた部分を
とする。直線
を
とおき、
の周りに
を
1
回転させてできる回転体を
とする。
(1)
に対して、点
を
P
とおく。また、
P
から
に下ろした垂線と
x
軸の交点を
Q
とする。線分
PQ
を
の周りに
1
回転させてできる図形の面積を
x
の式で表せ。
(2) (1)
の結果を用いて、回転体
の体積を
n
の式で表せ。
解答
斜回転体
の問題です。誘導が付いているので、解いた経験があれば、特に問題はないでしょう。計算ミスに注意します。
(1) P
から
に下ろした垂線の足を
H
として、この垂線は、傾き
1
で点
P
を通るので、直線上の点を
として、
,
・・・①
x
軸との交点は、
として、
,つまり、
Q
線分
PQ
を
の周りに
1
回転させると、
P
,
Q
は、それぞれ
H
を中心として、半径
HP
,半径
HQ
の円周
,
を描くので、両円周に挟まれた領域となります。
:
と①の交点
H
の
x
座標は、両式を連立し、
,
・・・②
右図で、直線①の傾きは
1
なので、
,
,よって、
求める面積
は、
の面積から
の面積を引いて、
......[
答
]
(2) (1)
で面積
を求めた図形の回転軸は直線
であって、
x
軸ではないので、
としても回転体の体積は求められません。
回転体の体積
を求めるためには、回転体の回転軸に垂直な断面の面積
を、回転軸
(
本問では、直線
)
に沿って積分しなければなりません。
に沿って原点からの距離は
OH
なので、求める体積は、
となります。
このままでは、
を
OH
で積分できないので、
OH
を
x
で表して
置換積分
します。
②より、
,
従って、
ここで
(
部分積分法
を参照
)
、
これより、
......[
答
]
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東工大数学20年前期[3]
東工大数学
'20
年前期
[3]
座標空間に
5
点
O
,
A
,
B
,
C
,
P
をとる。さらに、
,
に対して
2
点
Q
と
R
を考える。
(1)
点
P
,
Q
,
R
を通る平面を
H
とする。平面
H
と線分
AC
の交点
T
の座標、および平面
H
と線分
BC
の交点
S
の座標を求めよ。
(2)
点
Q
,
R
,
S
,
T
が同一円周上あるための必要十分条件を
a
,
b
を用いて表し、それを満たす点
の範囲を座標平面上に図示せよ。
解答
本問は、空間図形のまま考察しようとすると、複雑になります。空間図形の問題では、平面上の話で考察できないか、ということをまず考えます。
(1)
では、
T
を求めるときは
xz
平面上で、
S
を求めるときは
yz
平面上で考えます。
(2)
では、空間上の
4
点では難しいですが、平面
H
上で考えれば、四角形が円に内接する条件でしかありません。
(1)
平面
H
と
xz
平面との交線は直線
PQ
です。直線
AC
も
xz
平面上にあるので、交点
T
も
xz
平面上にあります。つまり、
xz
平面
(
)
上で、直線
AC
と直線
PQ
との交点として、
T
の座標は、
直線
PQ
:
・・・①
(
直線の方程式
を参照
)
直線
AC
:
・・・②
①+②×
2
より、
∴
②より、
T
......[
答
]
(
,
)
平面
H
と
yz
平面との交線は直線
PR
です。直線
BC
も
yz
平面上にあるので、交点
S
も
yz
平面上にあります。つまり、
yz
平面
(
)
上で、直線
BC
と直線
PR
との交点として、
S
の座標は、
直線
PR
:
・・・③
直線
BC
:
・・・④
③+④×
2
より、
∴
④より、
S
......[
答
]
(
,
)
(2) T
,
S
は、平面
H
上の点なので、
Q
,
R
,
S
,
T
はいずれも平面
H
上の点です。また、
P
,
Q
,
T
は一直線上
(
zx
平面と平面
H
の交線上
)
、
P
,
R
,
S
は一直線上
(
yz
平面と平面
H
の交線上
)
にあります。平面
H
上で考えると、四角形
QRST
が円に内接する必要十分条件は、
と
が互いに補角をなすこと、で、このとき、△
PQR
と△
PST
において、
,
より
,また
共通より、
△
PQR
∽
△
PST (
二角相等
)
⇔
PQ
:
PS = PR
:
PT
・・・⑤
,
,
,
,
,
,
⑤より、
,
よって、
・・・⑥,または、
(
,
)
⑥は、
のとき
,
のとき
,漸近線は
,
点
Q
,
R
,
S
,
T
が同一円周上あるための必要十分条件は、
,または、
(
,
) ......[
答
]
図示すると、右図太線
(
白マルを除く
)
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東工大数学20年前期[2]
東工大数学
'20
年前期
[2]
複素数平面上の異なる
3
点
A
,
B
,
C
を複素数
α
,
β
,
γ
で表す。ここで
A
,
B
,
C
は同一直線上にないと仮定する。
(1)
△
ABC
が正三角形となる必要十分条件は、
であることを示せ。
(2)
△
ABC
が正三角形のとき、△
ABC
の外接円上の点
P
を任意にとる。このとき、
および
を外接円の半径
R
を用いて表せ。ただし、
2
点
X
,
Y
に対し、
XY
とは線分
XY
の長さを表す。
解答
1
の
3
乗根
ω
(
)
の性質、
,
をフル活用します。
(1)
題意の条件の下に、
△
ABC
が正三角形
⇔
点
A
の周りに点
B
を
回転する
(
複素数の回転
を参照
)
と点
C
⇔
ここで、
なので、
とおくと、
⇔
⇔
⇔
⇔
従って、
⇔
展開して整理すると、
∴
よって、△
ABC
が正三角形となる必要十分条件
(
条件・命題
を参照
)
は、
(2)
△
ABC
の外接円の中心が原点
O
で、円上に反時計回りに
A
,
B
,
C
の順に並んでいるとして、一般性を失いません。△
ABC
が正三角形のとき、
より、
として、
,
,
また、
,
,
より、
,
より、
,
,
P
を表す複素数を
p
として、
,これらを使って、
・・・①
・・・②
・・・③
①+②+③より、
......[
答
]
・・・④
・・・⑤
・・・⑥
④+⑤+⑥より、
......[
答
]
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