の値が、3を法として2に合同である正の整数xをすべて求めよ。
，･･･，
に対して、
(
)
，･･･，
をすべて求めよ。ここでk個の連続した整数とは、
，
，
，･･･，
の方にカギがありそうです。理論的に迫る方法が見つからないときは、シラミ潰しに調べていきます。
，
，
，･･･
とか
が答になる、とわかってしまいます。ならば、
より広げ、片っ端から調べて、xに対して、
，
を3で割った余りを表にすると、以下のようになります。| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
 | 23 | 21 | 17 | 11 | 3 | 7 | 19 | 33 | 49 | 67 | 87 | 109 |
| 3で割った余り | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
の範囲では、3で割り切れるとき以外は余りが2，
の範囲では、3で割り切れるとき以外は余りが1になっているように見えます。
の範囲については、確かめておく必要があります。
(mod. 3) (合同式の性質を参照)より、
(mod. 3)，または、
(mod. 3)のとき、
(mod. 3)，
(mod. 3)
(mod. 3)のとき、
(mod. 3)より、
(mod. 3)，
(mod. 3)
のとき、
(mod. 3)となることはありません。
については、上記の表より、
(mod. 3)となるのは、
......[答] のとき。 
の欄に素数が並ぶのは、
から
までのところで、17，11，3，7，19の5個の素数が並びます。ですが、
においては、(1)(ii)で見たように、3個に1個は3の倍数(xが3で割って2余るとき)なので、5個以上整数が並ぶことはありません。
のときは、
のとき、
が最大となり、k個の連続した正の整数
，･･･，
に対して、
(
)の値17，11，3，7，19はすべて素数です。
の場合は、(1)(ii)により、3個の連続した正の整数
，
，
に対する
(
)の値のいずれかは3の倍数となり、5個以上素数が続くことはありません。
に対する正の整数は、3，4，5，6，7 ......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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(
)
のグラフからして、どんなグラフになるのかはっきりしません。
のグラフ(対数関数を参照)も、
のグラフ(無理関数を参照)も、単調増加で上に凸なグラフなので、多分、合成関数の
のグラフ(本問の曲線は、yでなくてzですが)も、単調増加で上に凸なグラフだろう、くらいで話を進めます。
において、
は、
･･･①
(
)をz軸のまわりに1回転させるとき、Sのz軸に垂直な断面は、z軸上の点を中心とする円になります。z座標がzのところでは、円の半径(曲線上の点とz軸との距離)は、
，
より、
となります。
･･･②
のところでは、②の円は1点
のみになり、zの最大値
のところでは、②の円は
･･･③ となります。
Sを平面
(
)で切った断面は右図黄緑色部分のようになり、Sをx軸のまわりに回転させたとき、回転軸x軸に最も近い点は、元々の曲線
上の点P
です。この点とx軸との距離の2乗は
，回転軸x軸から最も遠い点は、③で
として、
より、円③上の点Q
です(図では、複合が＋の方をQと書いています)。この点とx軸との距離の2乗は、
の外側の円から、面積
の内側の円を除いた図形となり、断面積
は、
は(立体の体積を参照)、立体Vがyz平面に関して対称であることに注意して、
(不定積分の公式を参照)
......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 4 | 1 | 2 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
通り。 ･･･①| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 1 | 4 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 1 | 4 | 3 |
| 3 | 4 | 1 | 2 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 1 | 4 | 3 |
| 4 | 3 | 1 | 2 |
| 3 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 1 | 4 | 3 |
| 3 | 4 | 2 | 1 |
| 4 | 3 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 1 | 4 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
| 3 | 4 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 4 | 1 |
| 3 | 4 | 1 | 2 |
通りあります。
通りあります。
通り ......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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(b，cは整数でcは3で割り切れない)
と定める。例えば、
である。
について
の最大値を与えるような
をすべて求めよ。
はaを素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
は
を素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
のすべての場合が、
通りもあるので、全部を調べるわけには行きません。調べる場合の数を減らす工夫として、剰余を考える方法があります。
なので、
，
なので、
とわかります。
の最大値は少なくとも2以上です。 ･･･①
)，余りが
として、つまり、
として、
を9で割った余りが
であることと①とから、
を9で割った余りを考えることにします。
のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)
とおくと、問題文の条件(iii)より、
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)
が9で割り切れる可能性があるのは、
かつ
(mod. 9)の場合だけです。
，
とします。
の範囲では、
(mod. 9)となるのは、
の場合です。
のとき、
，
， 
は3で割り切れません。このとき、
のとき、
，
･･･②
の中で、
が3で割り切れるのは、
(つまり、
)のときで、②より、
，
，
，
，
，
，
，
のとき、
，
，
は3で割り切れません。
のとき、
，
，
は3で割り切れません。
の最大値は4，そのときの
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，
，
．
は、
と
の内積を表す。
，また、
(空間ベクトルを参照)より、
，つまり、
，同様に、
，
，
，
，
でもない限り条件が変化してしまいます。つまり、AとBには対称性があって、AとBの垂直二等分面(2点A，Bの中点をMとすると、Mを通り直線ABに垂直な面、この面をHとします)について対称な位置にあります。CとDには対称性はありません。
の値が変化してしまいます。
，
，
，
の値が変化してしまうので、垂直二等分面H上にあります。
，
は一次独立なので、
は、c，dを実数として、
，
の一次結合で表されます。
･･･①
です。
･･･②
より、①を用いて、
∴ 
･･･③
，
，
･･･④ (ここまで、複合同順)
の値は、空間ベクトルでも平面ベクトルでも変わらないので、問題文の条件より、
より、
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Author:kgkrkgk
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とすると、
，
なので、
，
です。