の2つの解で、
であるとする。
は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。
を求めよ。
なので
となり、問題のままでは考えにくいのですが、
の2解α，βについて、2次方程式の解と係数の関係より
，
となるので、
を利用することになります。
，
･･･①
とします。
のとき、pが正の整数であることから、
は、整数であり偶数です。よって、成立します。
のとき、①を用いて、
，これは整数であり偶数です。よって、成立します。
のとき、
のとき、成立すると仮定します。つまり、
，
が整数であり偶数だと仮定します。
の代わりに
，xの代わりに
，定数項を定数項に
をかけたものを代入した式を考えます。
(∵ α，βは2次方程式
の解)
もまた、整数であり偶数です。よって、
のときも成立します。
は整数であり偶数です。 (証明終)
を利用するために、
を
を使って表すことを考えます。
より、
，
より、
，よって、
のとき、
，
......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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とする。zに関する方程式
･･･(＊)
の正三角形の頂点となっているとする。このとき、a，bと(＊)の3つの解を求めよ。
を使って考えてみます。
，
です。
の正三角形の外接円の半径をrとすると、正弦定理より、
∴ 
となる複素数とすると、原点を中心とする半径aの円周上に
，それを原点の周りに
回転した
，さらに
回転した
の3点をとると、正三角形となります。さらに、この3点を複素数平面上でβだけ平行した、
，
，
が、(＊)の相異なる3解になっているとします。
･･･①
･･･②
･･･③
∴ 
･･･④
，
，
になります。 (＊＊)
∴ 
･･･⑤
，
，
･･･⑥
･･･⑦ は実数なので、
，よって、
も実数ですが、
より、
∴ 
なので、
，⑦より、
，aは実数なので、
，⑤より、
∴ 
のとき、(＊＊)の3解は、
･･･⑧，
･･･⑨，
･･･⑩
のとき、このαは、
を原点の周りに
回転させた点
なので、(＊＊)の3解は、
は⑨に一致し、
は⑩に一致し、
は⑧に一致します。
のとき、このαは、
を原点の周りに
回転させた点
なので、(＊＊)の3解は、
は⑩に一致し、
は⑧に一致し、
は⑨に一致します。
，
，(＊)の3解は、
，
，
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のとき、この方程式は
の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。
を満たす実数rに対して、不等式
)が存在することを示せ。また、そのようなrの最大値を求めよ。
のグラフを描いておいて、
のグラフをいろいろ平行移動させ、交点のでき方を調べたり、楕円を描いて、いろいろと接線・法線を引いて、どこから法線を引くと条件を満たすか、など、試験会場でも時間をかけて調べる必要があると思います。こういう問題では、運の良い悪いもかなり影響してしまいます。教えてもらってしまえば大したことでなくても、方程式が本当に4解持つか考えるときなど、鋭い嗅覚で運をつかむことも大切です。
(＊)
，
とおきます。
，
より、
，
･･･①
，
，
，
･･･②
，
，
の各範囲に少なくとも1解を持ちます。
について、
，
，
について場合分けします。
，つまり、
のとき、
，
より、
において、少なくとも1解を持ちます。
，つまり、
のとき、
より、
は(＊)の解です。
，つまり、
のとき、
，
より、
において、少なくとも1解を持ちます。
のとき、方程式(＊)は、
の範囲に少なくとも4個の解を持ちます。
だったらどうなるのか、ということを調べてみます。
のとき、
と
の振幅はともに1になります。
のグラフを描いておいて、
のグラフをいろいろ平行移動させていくと、だいたい、4交点を持ちそうなのですが、
と
の山の位置が重なったらどういうことになるのか、ということに気づきます。
例えば、
のグラフを左に(
方向に)
だけ平行移動させると、
あたりで山の位置が重なります。そこで、
，
の場合を調べてみます。方程式(＊)は、
･･･③ または 
･･･④
より、
，この範囲では、
∴ 
より、
，この範囲では、
∴ 
の範囲に3解
しか持ちません。
でなければ、方程式(＊)が必ず4解を持つとは言えないのです。
(c：定数) ･･･⑤
，つまり、
，両辺を
で割って、
･･･⑥
という書き方から、
とおいて、 ⑥が楕円
上の点
を通るとして、
･･･⑦ が、少なくとも4個の解を持つのは、(1)より、
，すなわち、
のときです。
となるようにrをとれば、
となる全ての点Pについて、条件Cは満たされ、条件Cを満たすrは存在します。
のときには、(1)の追記で述べたように、
となって、⑦が4解持たない場合があるので、求めるrの最大値は
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を頂点とする円錐(内部を含む)をSとする。また、点A
を考える。
によるSの切り口および、平面
によるTの切り口を同一平面上に図示せよ。
で切るときは、切り口は円で、円の半径は、相似比が2：1であることから、
になります。斜円錐についても、底面の円に平行な平面での切り口は円になる、ということなどを知っていれば、相似比を考えて要領よく解答できますが、ここではそうした知識なしで考えてみます。
と表せます。円錐の内部を考えるので、この円内の点を考えることになります。
(
)
による切り口を考えるので、
とすると、
，よって、
，
上の点をxy平面までz軸と平行に平行移動させ、θを消去すると、
，
より、
(円の方程式を参照)
これは、
を中心とする半径
の円です。Sの平面
による切り口は、原点を中心とする半径
の円となります。円錐の内部を含めるので、図示すると、右図黄緑色着色部。
(2) 点PがSを動くとき、線分APが通過する部分をDとします。直円錐Sをzx平面で切ると、右図のような断面ができますが、
側で境界となる稜線の方程式は、
･･･① です。
(
)で切ると円になりますが、①で
として、
，
･･･②，これが切り口の円の半径になります。
となります。円錐の内部を含めるので、この円と円内の点を考えることになります。直線APの方向ベクトルは、
(
)
で切ると、
として、
，
は、点Pの存在している平面から上にあります。つまり、
です。
の場合、または、
の場合は、Dを平面
で切った断面は、線分、もしくは、1点Aのみで、いずれも断面積は0です。
上の点をxy平面までz軸と平行に平行移動させると、線分APと平面
との交点は、中心
，半径
の円を描きます。この半径は、点Pのz座標uには依存せず、②より直円錐Sを平面
で切ったときの断面の円の半径と同じです。ここでは、計算して確かめましたが、こうしたことを知識として持っている受験生は、上記の検討は不要です。
より、円の中心のx座標
は、cを固定し、uの関数とみて0からcまでuを動かすと、
から0まで単調に減少します。
の範囲でuを動かすとき、半径
の円の中心が
から
まで、円周および円の内部も含めて動くことになり、Dを平面
で切ったときの断面は右図黄緑色着色部になります。
は、2辺が
，
の長方形の面積と、半径
の円の面積の和となり、
(
ですが、この式で
なので、
としてOKです)
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を満たす整数とする。n個の整数
(
)
個の積の和を
とおく。例えば、
を求めよ。
と
をxについての整式として表せ。
をn，kで表せ。
，
，
のでき方を思い出せるかも知れませんが、一般の受験生では、いきなりこの問題を見せられても、何も見えず、どこから手を付ければよいかさえわからないかも知れません。こういうときは、n，kに数値を代入して、感覚をつかむところから始めます。
のとき、1個の整数、
から異なる1個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
となります。後で、見通しをよくするために、
と書かないで、問題文の例の通り、
と書くようにします。問題文がヒントになっているのです。
のとき、
の2通りの可能性があります。2個の整数は、
として、
です。
のときは、2個から1個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
(
)となります。
のときは、2個から2個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
(
)となります(組み合わせを参照)。
のとき、k = 1，2，3の3通りの可能性があります。3個の整数は、
として、
です。
のとき、3個から1個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、3個から2個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、3個から3個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、4個の整数は、
です。
は問題文に出ていますが、
(
)，
(
)，
(
)，
(
)
個の積の和
から考えると、
個の積の和
は、
(等比数列を参照)
......[答]
，
，
，
がxの整式で表される、ということは、
は、
でも、
でも割り切れる、ということです。
は
で割り切れて、
より、
は
で割り切れて、
，
より、
を証明します。
(
)は、n個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和です。つまり、
(
)は、
個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和です。
･･･①
の係数は、
(
)の係数は、
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和、と、
異なる
個を選んで積をとり、
個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の各々に
をかけたのもの
個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある、
に注意)の和
･･･②
の係数は、
......[答] ･･･③
，③を繰り返して用いることにより、
，
......[答] ･･･④
の係数は、
･･･⑤
に代えると、
，よって、
，⑤に代入すると、
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を満たす実数tに対して
を考える。
におけるtの関数
は単調に減少することを示せ。
とする。
におけるtの関数
の増減を調べ、最大値を求めよ。
を動くときのPの軌跡をCとし、Cとx軸で囲まれた領域をDとする。原点を中心としてDを時計回りに
回転させるとき、Dが通過する領域の面積を求めよ。
は直線OPの傾きです。tが
から1まで変化するとき、直線OPの傾きが単調に減少する、ということは、直線OPは時計回りに回るだけ(逆回りには動かない)、と言っています。
となっているのに、
において導関数
が定義できないのです。範囲を
としてくれていればよいのに、出題者が少し意地悪をしています。
を使わずに、以下のように、違う視点から書く必要があります。
と書くと、
の範囲で
は単調に増加するので、
は単調に減少し、
も単調に減少し、
は単調に減少する。
，
，
，また、
において
なので、
における増減表は、| t |  |  | 1 | ||
 | × | ＋ | 0 | － | |
 | 0 |  |  |  |  |
の最大値は、
のとき、
......[答]
，
です。
，
，
，
，
| t |  |  | 1 | ||
 | ＋ | ＋ | ＋ | ||
| x | 0 | |  | |  |
 | ＋ | 0 | － | ||
| y | 0 | |  | | 0 |
(1)，(2)も考慮して、Cの概形は右図
のようになります(媒介変数表示された関数のグラフを参照)。
回転すると、Cの通過部分は、右図黄緑色着色部のようになります。
は、半径
の円弧の
を描いて、図の点
に来ます。曲線Cの端点
は図の点
に来ます。黄緑色着色部のうち、線分
，弧
，y軸で囲まれた部分は、線分
，弧
，x軸に囲まれた部分と重なります。従って、求める面積Sは、曲線Cとx軸で囲む面積と半径
の円の面積の
を合わせたものになります。よって、
は半径1の円の面積の
に等しく
，
は、被積分関数
が奇関数で0，よって、
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で表す。また、P，Q，Rが同一直線上にあるときは、
とする。
とする。この平面上の点Xが
･･･(＊)
まず、Xが三角形ABCの内部、または周上の点だとする(右図)と、
，
，
を考えると、Xが辺ABに関して三角形ABCと反対側、Xが辺BCに関して三角形ABCと反対側、Xが辺CAに関して三角形と反対側、などで、考え方を変えなければいけないので、場合分けの仕方が見えてきます。
右図のように、各辺を延長した3本の直線により、平面を7つの領域①，②，③，④，⑤，⑥，⑦に分けます。直線上の点は隣接する領域に含めて考えます。前述のように、Xが領域①にあるときは、Xは条件を満たしません。
(i) Xが領域②にあるとき(右図)、Xが、直線BC上、直線CA上にあるときを含めて、直線XCと直線ABとの交点をD (DがAと一致するときは
，DがBと一致するときは
，DがXと一致するときは
)とします。右図より、
，
，
より、
，
，つまり、
･･･⑧
となるのは、右図のように、
となるときで、このとき、直線CA上でAについてCと反対側に、
となるような点Iをとり、直線BC上でBについてCと反対側に、
となるような点Jをとると、Xは線分IJ上(両端を含む)にあります。
となるのは、右図のように、
となるときで、このとき、直線CA上でAについてCと反対側に、
となるような点Pをとり、直線BC上でBについてCと反対側に、
となるような点Qをとると、Xは線分PQ上(両端を含む)にあります。
Xが領域②にあるときには、⑧となるのは、
となるときで、Xは台形IJQPの内部または周上にあります(右図黄色着色部および境界線上)。
(ii) Xが領域③にあるとき(右図)、直線XBと辺CAとの交点をE (EがCあるいはAと一致することもあります)とします。右図より、
，
より、
，
，つまり、
･･･⑨
となるのは、右図のように、
となるときで、このとき、直線AB上でBについてAと反対側に、
となるような点Kをとると、Xは線分JK上(両端を含む)にあります。
となるのは、右図のように、
となるときで、このとき、直線AB上でBについてAと反対側に、
となるような点Rをとると、Xは線分QR上(両端を含む)にあります。
Xが領域③にあるときには、⑨となるのは、
となるときで、Xは台形JKRQの内部または周上にあります(右図黄色着色部および境界線上)。
となるような点Lを、
となるような点Sをとり、直線BC上でCについてBと反対側に、
となるような点Mを、
となるような点Tをとり、直線AB上で、AについてBと反対側に、
となるような点Nを、
となるような点Uをとると、Xは、台形KLSR、台形LMTS、台形MNUT、台形NIPUのそれぞれの内部または周上にあります。
以上を図示すると、Xは右図黄緑色着色部の内部または周上にあり、
，
，
，
より、
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を満たす実数xの集合が一致しているとする。
であることを示せ。
，
，
，
，
とします。また、方程式
の判別式：
，解を
，
(ともに実数のときには
とする)，方程式
の判別式：
，解を
，
(ともに実数のときには
とする)，方程式
の判別式：
，解を
，
(ともに実数のときには
とする)とします。
を(＊)とします。
のとき、
かつ
となるqについて、
，
となるので、
とはなり得ず、(＊)は成立しません。
のとき、
，よって、
なので、
とはなり得ず、(＊)は成立しません。
のとき、
･･･①
のとき、
･･･②
のとき、
･･･③
のとき、
･･･④
のとき、
･･･⑤
のとき、
･･･⑥
，
，
の中に実数があれば(①または③または⑤のとき)、そのどれよりも小さく、かつ、
となるq，
，
，
の中に実数がなければ(②かつ④かつ⑥のとき)、
となるq，
，
となるので、
とはなり得ず、(＊)は成立しません。
(
の場合、
の場合も同様です)とします。
のとき、
などより
となりますが、これは成り立たないので、
となり、
なので、
で、(＊)は成立しません。
かつ
のとき、
，
，
より、
かつ
も同様です。
かつ
のとき、
，
，
より、
⇔ 
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Author:kgkrkgk
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は偶数なので、
，
，よって、
(
)の形(
(2) 
上の点Q
におけるCの接線は、
(
を平凡に微分する(
により
のとき、t：
，
より、
(1) a，b，cのうちどれか一つ、例えばa (b，cでも同様です)が
だと仮定します(
のグラフは右図のような上に凸な放物線。
(2) (1)を考慮して、a，b，cがすべて正だと仮定します(
のグラフは右図のような下に凸な放物線。