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かつ
を満たすとき、以下の問に答えよ。
の値を求めよ。
の値を求めよ。
という条件は、α，β，γが表す点が単位円上にあることを示しています。
は、3点α，β，γでできる三角形の重心が原点であることを示しています。
･･･①
をどこかからひねり出す必要がありますが、
より、
，よって、
，
より、
，
，
より、
として、
ですが、βはαを原点の回りに
回転させた点、γはαを原点の回りに
回転させた点で、
，
，
，
......[答]
，
として、
とおくと、
より、
，
より、
なので、
のとき、
のとき、
......[答]
とおく。
を
とkを用いて表せ。
の極限値Aを求めよ。
)を求めよ。また、そのときの極限値Bを求めよ。
)を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。
としたときに、0に収束するものにkをかけて0以外の値に収束させ、その極限値を引くとまた0に収束するので、さらにkをかけて、0以外の値に収束させる、という問題です。(1)は
，
，
，
，･･･ とやって行くと、項の数が増えどんどん複雑化して行くので破滅します。そこで、問題文中の積分の式を利用しよう、ということになりますが、こうして積分に関する不等式を利用してはさみうちに持ち込むパターンは東工大ではよく見られます。
......[答]
･･･① という積分の式が見えてきます。東工大では、
において、
のグラフは上に凸で、単調に増加するので、右図から、
という不等式ができます。
(
)をかけて、
，従って、
･･･②
･･･③
のとき、
，
，
･･･④
，
のとき、
，はさみうちの原理より、
......[答]
･･･⑤
のとき、(2)より、
ですが、右辺も、④より、
です。
･･･⑥
のとき、
，
より、
，よって、
･･･⑦
のとき、
，(2)より、
のとき、
(
が0でない値に収束するm，n (
)は、
，
，また、
......[答]
を加えると、
(
)
の形が出てくるように変形します。
(同じものを加えて引いた)
(⑤を利用して、
)
のとき、④より
，また、
，
(
が0ではない値に収束する整数p，q，r (
)は、
，
，
，極限値は、
......[答]
(
)とx軸で囲まれた部分を
とする。直線
を
とおき、
の周りに
を1回転させてできる回転体を
とする。
に対して、点
をPとおく。また、Pから
に下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQを
の周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。
の体積をnの式で表せ。
に下ろした垂線の足をHとして、この垂線は、傾き1で点P
を通るので、直線上の点を
として、
，
･･･①
として、
，つまり、Q
の周りに1回転させると、P，Qは、それぞれHを中心として、半径HP，半径HQの円周
，
を描くので、両円周に挟まれた領域となります。
：
と①の交点Hのx座標は、両式を連立し、
，
･･･②
，
，よって、
は、
の面積から
の面積を引いて、
......[答]
を求めた図形の回転軸は直線
であって、x軸ではないので、
としても回転体の体積は求められません。
を、回転軸(本問では、直線
)に沿って積分しなければなりません。
に沿って原点からの距離はOHなので、求める体積は、
となります。
をOHで積分できないので、OHをxで表して
，
......[答]
，A
，B
，C
，P
，
に対して2点Q
とR
を考える。
の範囲を座標平面上に図示せよ。
)上で、直線ACと直線PQとの交点として、Tの座標は、
･･･① (
･･･②
∴ 
②より、
......[答] (
，
)
)上で、直線BCと直線PRとの交点として、Sの座標は、
･･･③
･･･④
∴ 
④より、
......[答] (
，
)
(2) T，Sは、平面H上の点なので、Q，R，S，Tはいずれも平面H上の点です。また、P，Q，Tは一直線上(zx平面と平面Hの交線上)、P，R，Sは一直線上(yz平面と平面Hの交線上)にあります。平面H上で考えると、四角形QRSTが円に内接する必要十分条件は、
と
が互いに補角をなすこと、で、このとき、△PQRと△PSTにおいて、
，
より
，また
共通より、
，
，
，
，
，
，
，
･･･⑥，または、
(
，
)
⑥は、
のとき
，
のとき
，漸近線は
，
，または、
(
，
) ......[答]
)の性質、
，
をフル活用します。
回転する(
なので、
とおくと、
⇔ 
⇔ 
⇔ 
⇔ 
より、
として、
，
，
，
，
より、
，
より、
，
，
，これらを使って、
･･･①
･･･②
･･･③
......[答]
･･･④
･･･⑤
･･･⑥
......[答]