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(
)
のグラフからして、どんなグラフになるのかはっきりしません。
のグラフ(
のグラフ(
のグラフ(本問の曲線は、yでなくてzですが)も、単調増加で上に凸なグラフだろう、くらいで話を進めます。
において、
は、
･･･①
(
)をz軸のまわりに1回転させるとき、Sのz軸に垂直な断面は、z軸上の点を中心とする円になります。z座標がzのところでは、円の半径(曲線上の点とz軸との距離)は、
，
より、
となります。
･･･②
のところでは、②の円は1点
のみになり、zの最大値
のところでは、②の円は
･･･③ となります。
Sを平面
(
)で切った断面は右図黄緑色部分のようになり、Sをx軸のまわりに回転させたとき、回転軸x軸に最も近い点は、元々の曲線
上の点P
です。この点とx軸との距離の2乗は
，回転軸x軸から最も遠い点は、③で
として、
より、円③上の点Q
です(図では、複合が＋の方をQと書いています)。この点とx軸との距離の2乗は、
の外側の円から、面積
の内側の円を除いた図形となり、断面積
は、
は(
(
......[答]
通り。 ･･･①
通りあります。
通りあります。
通り ......[答]
(b，cは整数でcは3で割り切れない)
と定める。例えば、
である。
について
の最大値を与えるような
をすべて求めよ。
はaを素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
は
を素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
のすべての場合が、
通りもあるので、全部を調べるわけには行きません。調べる場合の数を減らす工夫として、剰余を考える方法があります。
なので、
，
なので、
とわかります。
の最大値は少なくとも2以上です。 ･･･①
)，余りが
として、つまり、
として、
を9で割った余りが
であることと①とから、
を9で割った余りを考えることにします。
のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)
とおくと、問題文の条件(iii)より、
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)
が9で割り切れる可能性があるのは、
かつ
(mod. 9)の場合だけです。
，
とします。
の範囲では、
(mod. 9)となるのは、
の場合です。
のとき、
，
， 
は3で割り切れません。このとき、
のとき、
，
･･･②
の中で、
が3で割り切れるのは、
(つまり、
)のときで、②より、
，
，
，
，
，
，
，
のとき、
，
，
は3で割り切れません。
のとき、
，
，
は3で割り切れません。
の最大値は4，そのときの
......[答]
，
，
．
は、
と
の内積を表す。
，また、
(
，つまり、
，同様に、
，
，
，
，
でもない限り条件が変化してしまいます。つまり、AとBには
の値が変化してしまいます。
，
，
，
の値が変化してしまうので、垂直二等分面H上にあります。
，
は
は、c，dを実数として、
，
の一次結合で表されます。
･･･①
です。
･･･②
より、①を用いて、
∴ 
･･･③
，
，
･･･④ (ここまで、複合同順)
の値は、
より、
......[答]
の2つの解で、
であるとする。
は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。
を求めよ。
なので
となり、問題のままでは考えにくいのですが、
の2解α，βについて、
，
となるので、
を利用することになります。
，
･･･①
とします。
のとき、pが正の整数であることから、
は、整数であり偶数です。よって、成立します。
のとき、①を用いて、
，これは整数であり偶数です。よって、成立します。
のとき、
のとき、成立すると仮定します。つまり、
，
が整数であり偶数だと仮定します。
の代わりに
，xの代わりに
，定数項を定数項に
をかけたものを代入した式を考えます。
(∵ α，βは2次方程式
の解)
もまた、整数であり偶数です。よって、
のときも成立します。
は整数であり偶数です。 (証明終)
を利用するために、
を
を使って表すことを考えます。
より、
は偶数なので、
，
，よって、
(
)の形(
，
より、
，よって、
のとき、
，
......[答]