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早大理工数学20年[1]
早大理工数学
'20
年
[1]
複素数
α
,
β
,
γ
が
かつ
を満たすとき、以下の問に答えよ。
(1)
α
,
β
,
γ
を表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。
(2)
の値を求めよ。
(3)
n
を
3
で割り切れない自然数とするとき
の値を求めよ
。
解答
という条件は、
α
,
β
,
γ
が表す点が単位円上にあることを示しています。
は、
3
点
α
,
β
,
γ
でできる三角形の重心が原点であることを示しています。
(1)
対称性により各辺の垂直二等分線が原点を通ることから、三角形の外心も原点になります。重心と外心が一致する三角形は正三角形、と言えますが、ここでは、計算でやってみます。
3
辺の長さを調べてみます。
・・・①
をどこかからひねり出す必要がありますが、
より、
,よって、
∴
①より、
同様に、
,
より、
,
,
より、
よって、
3
辺の長さが等しく、
α
,
β
,
γ
が表す
3
点で正三角形をなすことになります。
(2)
α
,
β
,
γ
が表す
3
点が、この順に反時計回りに並んでいるとして一般性を失いません。
(1)
より、
として、
ですが、
β
は
α
を原点の回りに
回転させた点、
γ
は
α
を原点の回りに
回転させた点で、
,
と表されます。
,
,
よって、
......[
答
]
(3)
n
が
3
で割り切れない自然数であることから、
,
として、
とおくと、
より、
,
より、
なので、
のとき、
のとき、
よって、
......[
答
]
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東工大数学20年前期[5]
東工大数学
'20
年前期
[5]
k
を正の整数とし、
とおく。
(1)
を
と
k
を用いて表せ。
(2)
k
を限りなく大きくするとき、数列
の極限値
A
を求めよ。
(3) (2)
の極限値
A
に対し、
k
を限りなく大きくするとき、数列
が
0
ではない値に収束する
m
,
n
(
)
を求めよ。また、そのときの極限値
B
を求めよ。
(4) (2)
と
(3)
の極限値
A
,
B
に対し、
k
を限りなく大きくするとき、数列
が
0
ではない値に収束する整数
p
,
q
,
r
(
)
を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。
解答
どこから思いつくのだろう、というような目新しい問題ですが、
としたときに、
0
に収束するものに
k
をかけて
0
以外の値に収束させ、その極限値を引くとまた
0
に収束するので、さらに
k
をかけて、
0
以外の値に収束させる、という問題です。
(1)
は
部分積分法
によって計算するだけですが、
(2)
で
(1)
の漸化式を使って、
,
,
,
,・・・
とやって行くと、項の数が増えどんどん複雑化して行くので破滅します。そこで、問題文中の積分の式を利用しよう、ということになりますが、こうして積分に関する不等式を利用してはさみうちに持ち込むパターンは東工大ではよく見られます。
(1)
......[
答
]
(2)
とやりたくなるのですが、展望が見えず破滅が待っています。試験場では、この辺で見切らないと時間が無くなります。
(1)
で求めた漸化式をそのまま適用するのでは、極限値が求められそうもないので、他の手がかりを探します。そこで、問題文を読み直すと、
・・・① という積分の式が見えてきます。東工大では、
はさみうち
が頻出なので、はさみうちに持ち込めないか、考えます。
において、
のグラフは上に凸で、単調に増加するので、右図から、
という不等式ができます。
(
)
をかけて、
,従って、
・・・②
ここで、
これと、①,②とから、
・・・③
のとき、
,
,
はさみうちの原理
より、
・・・④
③の各辺に
k
をかけて、
,
のとき、
,はさみうちの原理より、
......[
答
]
(3) (1)
の結果より、
・・・⑤
左辺は、
のとき、
(2)
より、
ですが、右辺も、④より、
です。
m
,
n
は整数なので、⑤に
k
を一つずつかけていきます。まず、⑤に
k
をかけて、
・・・⑥
右辺は、
のとき、
,
より、
,よって、
さらに⑥に
k
をかけます。
・・・⑦
右辺は、
のとき、
,
(2)
より、
以上より、⑦は、
のとき、
(
数列の極限
を参照
)
よって、数列
が
0
でない値に収束する
m
,
n
(
)
は、
,
,また、
......[
答
]
(4) (3)
の結果より、⑦の両辺に
を加えると、
(
)
両辺に
k
をかけて、右辺を、⑤の利用を考え、
の形が出てくるように変形します。
(
同じものを加えて引いた
)
(
⑤を利用して、
)
のとき、④より
,また、
,
よって、
(
数列の極限
を参照
)
数列
が
0
ではない値に収束する整数
p
,
q
,
r
(
)
は、
,
,
,極限値は、
......[
答
]
注.
(3)(4)
で、極限値をもつ場合でさらに
k
をかけてしまうと正の無限大、あるいは負の無限大に発散してしまいます。
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東工大数学20年前期[4]
東工大数学
'20
年前期
[4]
n
を正の奇数とする。曲線
(
)
と
x
軸で囲まれた部分を
とする。直線
を
とおき、
の周りに
を
1
回転させてできる回転体を
とする。
(1)
に対して、点
を
P
とおく。また、
P
から
に下ろした垂線と
x
軸の交点を
Q
とする。線分
PQ
を
の周りに
1
回転させてできる図形の面積を
x
の式で表せ。
(2) (1)
の結果を用いて、回転体
の体積を
n
の式で表せ。
解答
斜回転体
の問題です。誘導が付いているので、解いた経験があれば、特に問題はないでしょう。計算ミスに注意します。
(1) P
から
に下ろした垂線の足を
H
として、この垂線は、傾き
1
で点
P
を通るので、直線上の点を
として、
,
・・・①
x
軸との交点は、
として、
,つまり、
Q
線分
PQ
を
の周りに
1
回転させると、
P
,
Q
は、それぞれ
H
を中心として、半径
HP
,半径
HQ
の円周
,
を描くので、両円周に挟まれた領域となります。
:
と①の交点
H
の
x
座標は、両式を連立し、
,
・・・②
右図で、直線①の傾きは
1
なので、
,
,よって、
求める面積
は、
の面積から
の面積を引いて、
......[
答
]
(2) (1)
で面積
を求めた図形の回転軸は直線
であって、
x
軸ではないので、
としても回転体の体積は求められません。
回転体の体積
を求めるためには、回転体の回転軸に垂直な断面の面積
を、回転軸
(
本問では、直線
)
に沿って積分しなければなりません。
に沿って原点からの距離は
OH
なので、求める体積は、
となります。
このままでは、
を
OH
で積分できないので、
OH
を
x
で表して
置換積分
します。
②より、
,
従って、
ここで
(
部分積分法
を参照
)
、
これより、
......[
答
]
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東工大数学20年前期[3]
東工大数学
'20
年前期
[3]
座標空間に
5
点
O
,
A
,
B
,
C
,
P
をとる。さらに、
,
に対して
2
点
Q
と
R
を考える。
(1)
点
P
,
Q
,
R
を通る平面を
H
とする。平面
H
と線分
AC
の交点
T
の座標、および平面
H
と線分
BC
の交点
S
の座標を求めよ。
(2)
点
Q
,
R
,
S
,
T
が同一円周上あるための必要十分条件を
a
,
b
を用いて表し、それを満たす点
の範囲を座標平面上に図示せよ。
解答
本問は、空間図形のまま考察しようとすると、複雑になります。空間図形の問題では、平面上の話で考察できないか、ということをまず考えます。
(1)
では、
T
を求めるときは
xz
平面上で、
S
を求めるときは
yz
平面上で考えます。
(2)
では、空間上の
4
点では難しいですが、平面
H
上で考えれば、四角形が円に内接する条件でしかありません。
(1)
平面
H
と
xz
平面との交線は直線
PQ
です。直線
AC
も
xz
平面上にあるので、交点
T
も
xz
平面上にあります。つまり、
xz
平面
(
)
上で、直線
AC
と直線
PQ
との交点として、
T
の座標は、
直線
PQ
:
・・・①
(
直線の方程式
を参照
)
直線
AC
:
・・・②
①+②×
2
より、
∴
②より、
T
......[
答
]
(
,
)
平面
H
と
yz
平面との交線は直線
PR
です。直線
BC
も
yz
平面上にあるので、交点
S
も
yz
平面上にあります。つまり、
yz
平面
(
)
上で、直線
BC
と直線
PR
との交点として、
S
の座標は、
直線
PR
:
・・・③
直線
BC
:
・・・④
③+④×
2
より、
∴
④より、
S
......[
答
]
(
,
)
(2) T
,
S
は、平面
H
上の点なので、
Q
,
R
,
S
,
T
はいずれも平面
H
上の点です。また、
P
,
Q
,
T
は一直線上
(
zx
平面と平面
H
の交線上
)
、
P
,
R
,
S
は一直線上
(
yz
平面と平面
H
の交線上
)
にあります。平面
H
上で考えると、四角形
QRST
が円に内接する必要十分条件は、
と
が互いに補角をなすこと、で、このとき、△
PQR
と△
PST
において、
,
より
,また
共通より、
△
PQR
∽
△
PST (
二角相等
)
⇔
PQ
:
PS = PR
:
PT
・・・⑤
,
,
,
,
,
,
⑤より、
,
よって、
・・・⑥,または、
(
,
)
⑥は、
のとき
,
のとき
,漸近線は
,
点
Q
,
R
,
S
,
T
が同一円周上あるための必要十分条件は、
,または、
(
,
) ......[
答
]
図示すると、右図太線
(
白マルを除く
)
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東工大数学20年前期[2]
東工大数学
'20
年前期
[2]
複素数平面上の異なる
3
点
A
,
B
,
C
を複素数
α
,
β
,
γ
で表す。ここで
A
,
B
,
C
は同一直線上にないと仮定する。
(1)
△
ABC
が正三角形となる必要十分条件は、
であることを示せ。
(2)
△
ABC
が正三角形のとき、△
ABC
の外接円上の点
P
を任意にとる。このとき、
および
を外接円の半径
R
を用いて表せ。ただし、
2
点
X
,
Y
に対し、
XY
とは線分
XY
の長さを表す。
解答
1
の
3
乗根
ω
(
)
の性質、
,
をフル活用します。
(1)
題意の条件の下に、
△
ABC
が正三角形
⇔
点
A
の周りに点
B
を
回転する
(
複素数の回転
を参照
)
と点
C
⇔
ここで、
なので、
とおくと、
⇔
⇔
⇔
⇔
従って、
⇔
展開して整理すると、
∴
よって、△
ABC
が正三角形となる必要十分条件
(
条件・命題
を参照
)
は、
(2)
△
ABC
の外接円の中心が原点
O
で、円上に反時計回りに
A
,
B
,
C
の順に並んでいるとして、一般性を失いません。△
ABC
が正三角形のとき、
より、
として、
,
,
また、
,
,
より、
,
より、
,
,
P
を表す複素数を
p
として、
,これらを使って、
・・・①
・・・②
・・・③
①+②+③より、
......[
答
]
・・・④
・・・⑤
・・・⑥
④+⑤+⑥より、
......[
答
]
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