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東工大数学'20年前期[1]

次の問いに答えよ。
(1) の値が、3を法として2に合同である正の整数xをすべて求めよ。
(2) k個の連続した正の整数,・・・,に対して、
()
の値がすべて素数になるkの最大値と、そのkに対する連続した正の整数,・・・,をすべて求めよ。ここでk個の連続した整数とは、
,・・・,
となる列のことである。

解答 3を法として2に合同、ということは、3で割って2余るということです。23はどこから来ているのだろう、と、思いますが、の方にカギがありそうです。理論的に迫る方法が見つからないときは、シラミ潰しに調べていきます。

(1) とすると、なので、です。絶対値記号の内側が負になる正の整数xの範囲は、
,・・・
これで、とかが答になる、とわかってしまいます。ならば、より広げ、片っ端から調べて、xに対して、3で割った余りを表にすると、以下のようになります。
x123456789101112
23211711371933496787109
3で割った余り202201101101

この表で、ほぼ問題の全容が見えてしまいます。3回に1回の割で3で割った余りが0になり、の範囲では、3で割り切れるとき以外は余りが2
の範囲では、
3で割り切れるとき以外は余りが1になっているように見えます。
の範囲については、確かめておく必要があります。
(mod. 3) (合同式の性質を参照)より、
i) (mod. 3),または、 (mod. 3)のとき、
(mod. 3) (mod. 3)
ii) (mod. 3)のとき、 (mod. 3)より、
(mod. 3) (mod. 3)
これより、のとき、 (mod. 3)となることはありません。
については、上記の表より、
(mod. 3)となるのは、
......[] のとき。

(2) (1)の表で、の欄に素数が並ぶのは、からまでのところで、171137195個の素数が並びます。ですが、においては、(1)(ii)で見たように、3個に1個は3の倍数(x3で割って2余るとき)なので、5個以上整数が並ぶことはありません。
つまり、のときは、のとき、が最大となり、k個の連続した正の整数,・・・,に対して、 ()の値17113719はすべて素数です。の場合は、(1)(ii)により、3個の連続した正の整数に対する ()の値のいずれかは3の倍数となり、5個以上素数が続くことはありません。
よって、求める
kの最大値は5対する正の整数は、34567 ......[]



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京大理系数学'20年前期[6]

xyzを座標とする空間において、xz平面内の曲線
()
z軸のまわりに1回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形をSとする。このSをさらにx軸のまわりに1回転させるとき、Sが通過した部分よりなる立体をVとする。このとき、Vの体積を求めよ。

解答 変なものを回転させる問題では断面を考えます、どんな立体になるのだろうと思ってしまうと難問になってしまいます。そもそも、のグラフからして、どんなグラフになるのかはっきりしません。のグラフ(対数関数を参照)も、のグラフ(無理関数を参照)も、単調増加で上に凸なグラフなので、多分、合成関数ののグラフ(本問の曲線は、yでなくてzですが)も、単調増加で上に凸なグラフだろう、くらいで話を進めます。

において、は、 ・・・①
曲線
()z軸のまわりに1回転させるとき、Sz軸に垂直な断面は、z軸上の点を中心とする円になります。z座標がzのところでは、円の半径(曲線上の点とz軸との距離)は、より、となります。
z座標がzのところまで、xy平面を移動させると、円の方程式は、 ・・・②
①の
zの範囲で、zの最小値のところでは、②の円は1のみになり、zの最大値のところでは、②の円は ・・・③ となります。
Sを平面 ()で切った断面は右図黄緑色部分のようになり、Sx軸のまわりに回転させたとき、回転軸x軸に最も近い点は、元々の曲線上の点Pです。この点とx軸との距離の2乗は,回転軸x軸から最も遠い点は、③でとして、より、円③上の点Qです(図では、複合が+の方をQと書いています)。この点とx軸との距離の2乗は、
断面は、面積の外側の円から、面積の内側の円を除いた図形となり、断面積は、

立体Vの体積(立体の体積を参照)、立体Vyz平面に関して対称であることに注意して、
 (不定積分の公式を参照)

......[]
注.②は曲面Sの方程式です。



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京大理系数学'20年前期[5]

4個、横4個のマス目のそれぞれに1234の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の1例である。
1234
3412
4123
2341

解答 対称性を考慮して場合の数を数えます。
(i) まず、1行目の4文字の入れ方は、異なる4個のものの順列となり、通り。 ・・・①

1234の数字を入れ替えて考えるときの対称性より、この24通りの各1通りについて、2行目以降の数字の入れ方は、同数ずつあります。そこで、24通りのうちの1通り、1行目に例えば、1234と入れた場合を考えます。
(ii) 2行目は、1列目には1を入れることができないので、1を入れる位置は、2列目、3列目、4列目の3通りあります。 ・・・②
234の数字を入れ替えて考えるときの対称性より、この3通りの各1通りについて、1を入れた以降の数字の入れ方は、同数ずつあります。
そこで、
2行目の2列目に1を入れた場合を考えます。
2行目に2を入れる位置は、1列目、3列目、4列目の3通りありますが、この3通りについては、1行目の1の下の1列目と、1行目の34の下の3列目と4列目とでは、違いがあります。1はすでに2行目2列目に入っていますが、34はまだ2行目に入っていないからです。そこで、2行目に2を入れる位置について、1列目に入れる場合と、3列目4列目に入れる場合とで別に考えます。
(iii) まず、1行目の1の下の2行目1列目に2を入れると、1行目の4の下の2行目4列目には4を入れることができないので、2行目は下図のように、ただ1通りに確定します。
1234
2143








3行目の入れ方は、1234の入れ替えにより、次の4通りに限られ、それに応じて、4行目も確定します。 ・・・③
1234
2143
3412
4321
1234
2143
4312
3421
1234
2143
3421
4312
1234
2143
4321
3412
(iv) 1行目の34の下、2行目の3列目に2を入れる場合と、4列目に2を入れる場合とは、34を入れ替えて考えるときの対称性より、同数ずつあります。そこで、23列目に入れた場合を考えます。1行目の4の下にの2行目4列目には4は入らないので、2行目はただ1通りに確定し、これ以降、3行目に、13列目に入るか4列目に入るかによって以下の2通りあります。 ・・・④
1234
4123
3412
2341
1234
4123
2341
3412

(iii)で、③より、2行目1列目に2を入れるときが4通り、④より、2行目3列目、4列目に2を入れるときがそれぞれ2通り、合わせて、2行目の2の入れ方により、通りあります。
②より、
2行目の1の入れ方が3通り、この3通りの各1通りについて以降が8通りあるので、2行目以降、通りあります。
①より、
1行目の数字の並び方は24通りあり、この各1通りについて2行目以降が24通りあるので、数字の入れ方は、通り ......[]



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京大理系数学'20年前期[4]

正の整数aに対して、
(bcは整数でc3で割り切れない)
の形に書いたとき、と定める。例えば、である。
mnは整数で、次の条件を満たすとする。
(i)
(ii)
(iii) n
3で割り切れない。
このようなについて

とするとき、
の最大値を求めよ。また、の最大値を与えるようなをすべて求めよ。

解答 aを素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。を素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
整数問題は、巧妙な解法が思い浮かべばそれで進めればよいのですが、有効な方法が思いつかないときは、シラミつぶしで行くことになります。とは言え、本問ではのすべての場合が、通りもあるので、全部を調べるわけには行きません。調べる場合の数を減らす工夫として、剰余を考える方法があります。

mnにいくつか数値代入してみると、なので、なので、とわかります。の最大値は少なくとも2以上です。 ・・・①
m3で割り商がk (),余りがとして、つまり、として、
9で割った余りがであることと①とから、9で割った余りを考えることにします。
(1) のとき、 (mod. 9)のとき、 (mod. 9)のとき、 (mod. 9)
(2) とおくと、問題文の条件(iii)より、
(mod. 9)のとき、 (mod. 9) (mod. 9)のとき、 (mod. 9)
(mod. 9)のとき、 (mod. 9)のとき、 (mod. 9)
(mod. 9)のとき、 (mod. 9)のとき、 (mod. 9)
(1)(2)の組み合わせで、9で割り切れる可能性があるのは、かつ (mod. 9)の場合だけです。
以下、とします。
の範囲では、
(mod. 9)となるのは、の場合です。
のとき、
3で割り切れません。このとき、
のとき、 ・・・②
の中で、
3で割り切れるのは、(つまり、)のときで、②より、
のとき、
3で割り切れません。
のとき、
3で割り切れません。
以上より、の最大値は
4,そのときの ......[]



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kを正の実数とする。座標空間において、原点Oを中心とする半径1の球面上の4ABCDが次の関係式を満たしている。


このとき、kの値を求めよ。ただし、座標空間の点XYに対して、は、の内積を表す。

解答 4ABCD は、原点を中心とする半径1の球面上の点なので、,また、 (空間ベクトルを参照)より、,つまり、,同様に、
従って、△
OAB,△OCDは、1辺の長さ1の正三角形です。
また、問題文の条件式で、そのまま
ABを入れ替えてみます。
条件に変化はありません。ですが、問題文の条件式でCDを入れ替えると、
となり、でもない限り条件が変化してしまいます。つまり、ABには対称性があって、ABの垂直二等分面(2ABの中点をMとすると、Mを通り直線ABに垂直な面、この面をHとします)について対称な位置にあります。CDには対称性はありません。
Oは垂直二等分面H上にあります。そうでなければ、ABを入れ替えると、の値が変化してしまいます。
Cと点Dも、同じ理由で、ABを入れ替えたときに、の値が変化してしまうので、垂直二等分面H上にあります。
空間の問題をできる限り容易に解くための技巧として、ある断面上で平面の問題として考える、という技巧があります。本問も、垂直二等分面
H上で、平面ベクトルの問題として考えます。

OMCD は同一平面H上にあり、一次独立なので、は、cdを実数として、の一次結合で表されます。
 ・・・①
OMは、1辺の長さ1の正三角形の頂点Oから対辺ABに下ろした垂線なので、です。
 ・・・②
また、より、①を用いて、
 ∴  ・・・③
②に代入して、

③より、
①より、

 ・・・④ (ここまで、複合同順)
一方、内積の値は、空間ベクトルでも平面ベクトルでも変わらないので、問題文の条件より、
④においてより、 ......[]



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