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早大理工数学'20[1]

複素数αβγかつを満たすとき、以下の問に答えよ。
(1) αβγを表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。
(2) の値を求めよ。
(3) n3で割り切れない自然数とするときの値を求めよ

解答 という条件は、αβγが表す点が単位円上にあることを示しています。は、3αβγでできる三角形の重心が原点であることを示しています。

(1) 対称性により各辺の垂直二等分線が原点を通ることから、三角形の外心も原点になります。重心と外心が一致する三角形は正三角形、と言えますが、ここでは、計算でやってみます。

3辺の長さを調べてみます。
 ・・・①
をどこかからひねり出す必要がありますが、より、,よって、

①より、
同様に、より、より、
よって、3辺の長さが等しく、αβγが表す3点で正三角形をなすことになります。

(2) αβγが表す3点が、この順に反時計回りに並んでいるとして一般性を失いません。
(1)より、として、ですが、βαを原点の回りに回転させた点、γαを原点の回りに回転させた点で、
と表されます。
よって、 ......[]

(3) n3で割り切れない自然数であることから、として、とおくと、より、より、なので、
のとき、
のとき、
よって、
......[]



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東工大数学'20年前期[5]

kを正の整数とし、とおく。
(1) kを用いて表せ。
(2) kを限りなく大きくするとき、数列の極限値Aを求めよ。
(3) (2)の極限値Aに対し、kを限りなく大きくするとき、数列
0ではない値に収束するmn ()を求めよ。また、そのときの極限値Bを求めよ。
(4) (2)(3)の極限値ABに対し、kを限りなく大きくするとき、数列
0ではない値に収束する整数pqr ()を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。

解答 どこから思いつくのだろう、というような目新しい問題ですが、としたときに、0に収束するものにkをかけて0以外の値に収束させ、その極限値を引くとまた0に収束するので、さらにkをかけて、0以外の値に収束させる、という問題です。(1)部分積分法によって計算するだけですが、(2)(1)の漸化式を使って、,・・・ とやって行くと、項の数が増えどんどん複雑化して行くので破滅します。そこで、問題文中の積分の式を利用しよう、ということになりますが、こうして積分に関する不等式を利用してはさみうちに持ち込むパターンは東工大ではよく見られます。

(1)



......[]

(2)


とやりたくなるのですが、展望が見えず破滅が待っています。試験場では、この辺で見切らないと時間が無くなります。(1)で求めた漸化式をそのまま適用するのでは、極限値が求められそうもないので、他の手がかりを探します。そこで、問題文を読み直すと、 ・・・① という積分の式が見えてきます。東工大では、はさみうちが頻出なので、はさみうちに持ち込めないか、考えます。
において、のグラフは上に凸で、単調に増加するので、右図から、という不等式ができます。
()をかけて、,従って、
 ・・・②
ここで、

これと、①,②とから、 ・・・③
のとき、
はさみうちの原理より、 ・・・④
③の各辺に
kをかけて、のとき、,はさみうちの原理より、
......[]

(3) (1)の結果より、 ・・・⑤
左辺は、のとき、(2)より、ですが、右辺も、④より、です。
mnは整数なので、⑤にkを一つずつかけていきます。まず、⑤にkをかけて、
 ・・・⑥
右辺は、のとき、より、,よって、
さらに⑥に
kをかけます。
 ・・・⑦
右辺は、のとき、(2)より、
以上より、⑦は、のとき、 
(数列の極限を参照)
よって、数列0でない値に収束するmn ()は、,また、 ......[]

(4) (3)の結果より、⑦の両辺にを加えると、
()
両辺にkをかけて、右辺を、⑤の利用を考え、の形が出てくるように変形します。
 (同じものを加えて引いた)

 (⑤を利用して、)
のとき、④より,また、
よって、 
(数列の極限を参照)
数列0ではない値に収束する整数pqr ()は、,極限値は、 ......[]
注.(3)(4)で、極限値をもつ場合でさらにkをかけてしまうと正の無限大、あるいは負の無限大に発散してしまいます。



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東工大数学'20年前期[4]

nを正の奇数とする。曲線 ()x軸で囲まれた部分をとする。直線とおき、の周りに1回転させてできる回転体をとする。
(1) に対して、点Pとおく。また、Pからに下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQの周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。
(2) (1)の結果を用いて、回転体の体積をnの式で表せ。

解答 斜回転体の問題です。誘導が付いているので、解いた経験があれば、特に問題はないでしょう。計算ミスに注意します。

(1) Pからに下ろした垂線の足をHとして、この垂線は、傾き1で点Pを通るので、直線上の点をとして、
 ・・・①
x軸との交点は、として、,つまり、Q
線分PQの周りに1回転させると、PQは、それぞれHを中心として、半径HP,半径HQの円周を描くので、両円周に挟まれた領域となります。
と①の交点
Hx座標は、両式を連立し、
 ・・・②
右図で、直線①の傾きは1なので、,よって、

求める面積は、の面積からの面積を引いて、
......[]

(2) (1)で面積を求めた図形の回転軸は直線であって、x軸ではないので、としても回転体の体積は求められません。回転体の体積を求めるためには、回転体の回転軸に垂直な断面の面積を、回転軸(本問では、直線)に沿って積分しなければなりません。に沿って原点からの距離はOHなので、求める体積は、となります。
このままでは、OHで積分できないので、OHxで表して置換積分します。
②より、
従って、
ここで(部分積分法を参照)

これより、 ......[]



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東工大数学'20年前期[3]

座標空間に5
OABCP
をとる。さらに、に対して2QRを考える。
(1) PQRを通る平面をHとする。平面Hと線分ACの交点Tの座標、および平面Hと線分BCの交点Sの座標を求めよ。
(2) QRSTが同一円周上あるための必要十分条件をabを用いて表し、それを満たす点の範囲を座標平面上に図示せよ。

解答 本問は、空間図形のまま考察しようとすると、複雑になります。空間図形の問題では、平面上の話で考察できないか、ということをまず考えます。(1)では、Tを求めるときはxz平面上で、Sを求めるときはyz平面上で考えます。(2)では、空間上の4点では難しいですが、平面H上で考えれば、四角形が円に内接する条件でしかありません。

(1) 平面Hxz平面との交線は直線PQです。直線ACxz平面上にあるので、交点Txz平面上にあります。つまり、xz平面()上で、直線ACと直線PQとの交点として、Tの座標は、
直線PQ ・・・① (直線の方程式を参照)
直線AC ・・・②
①+②×2より、 ∴  ②より、
T ......[] ()
平面Hyz平面との交線は直線PRです。直線BCyz平面上にあるので、交点Syz平面上にあります。つまり、yz平面()上で、直線BCと直線PRとの交点として、Sの座標は、
直線PR ・・・③
直線
BC ・・・④
③+④×2より、 ∴  ④より、
S ......[]  ()

(2) TSは、平面H上の点なので、QRSTはいずれも平面H上の点です。また、PQTは一直線上(zx平面と平面Hの交線上)PRSは一直線上(yz平面と平面Hの交線上)にあります。平面H上で考えると、四角形QRSTが円に内接する必要十分条件は、が互いに補角をなすこと、で、このとき、△PQRと△PSTにおいて、より,また共通より、
PQR PST (二角相等)
⇔ PQPS = PRPT ・・・⑤

⑤より、

よって、 ・・・⑥,または、 ()
⑥は、
のときのとき,漸近線は
QRSTが同一円周上あるための必要十分条件は、
,または、 () ......[]
図示すると、右図太線(白マルを除く)



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東工大数学'20年前期[2]

複素数平面上の異なる3ABCを複素数αβγで表す。ここでABCは同一直線上にないと仮定する。
(1) ABCが正三角形となる必要十分条件は、
であることを示せ。
(2) ABCが正三角形のとき、△ABCの外接円上の点Pを任意にとる。このとき、
および
を外接円の半径Rを用いて表せ。ただし、2XYに対し、XYとは線分XYの長さを表す。

解答 13乗根ω()の性質、をフル活用します。

(1) 題意の条件の下に、
ABCが正三角形 Aの周りに点B回転する(複素数の回転を参照)と点C
ここで、なので、とおくと、
従って、
展開して整理すると、

よって、△ABCが正三角形となる必要十分条件(条件・命題を参照)は、

(2) ABCの外接円の中心が原点Oで、円上に反時計回りにABCの順に並んでいるとして、一般性を失いません。△ABCが正三角形のとき、より、として、
また、より、より、
Pを表す複素数をpとして、,これらを使って、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①+②+③より、 ......[]
 ・・・④

 ・・・⑤

 ・・・⑥
④+⑤+⑥より、
......[]



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