かつ
を満たすとき、以下の問に答えよ。
の値を求めよ。
の値を求めよ。
という条件は、α，β，γが表す点が単位円上にあることを示しています。
は、3点α，β，γでできる三角形の重心が原点であることを示しています。
･･･①
をどこかからひねり出す必要がありますが、
より、
，よって、
，
より、
，
，
より、
として、
ですが、βはαを原点の回りに
回転させた点、γはαを原点の回りに
回転させた点で、
，
，
，
......[答]
，
として、
とおくと、
より、
，
より、
なので、
のとき、
のとき、
......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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とおく。
を
とkを用いて表せ。
の極限値Aを求めよ。
)を求めよ。また、そのときの極限値Bを求めよ。
)を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。
としたときに、0に収束するものにkをかけて0以外の値に収束させ、その極限値を引くとまた0に収束するので、さらにkをかけて、0以外の値に収束させる、という問題です。(1)は部分積分法によって計算するだけですが、(2)で(1)の漸化式を使って、
，
，
，
，･･･ とやって行くと、項の数が増えどんどん複雑化して行くので破滅します。そこで、問題文中の積分の式を利用しよう、ということになりますが、こうして積分に関する不等式を利用してはさみうちに持ち込むパターンは東工大ではよく見られます。
......[答]
･･･① という積分の式が見えてきます。東工大では、はさみうちが頻出なので、はさみうちに持ち込めないか、考えます。
において、
のグラフは上に凸で、単調に増加するので、右図から、
という不等式ができます。
(
)をかけて、
，従って、
･･･②
......[答]
･･･⑤
のとき、(2)より、
ですが、右辺も、④より、
です。
･･･⑥
のとき、
，
より、
，よって、
･･･⑦
を加えると、
(
)
の形が出てくるように変形します。
(同じものを加えて引いた)
(⑤を利用して、
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Author:kgkrkgk
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･･･③
のとき、
，
，
･･･④
，
のとき、
，はさみうちの原理より、
のとき、
，(2)より、
のとき、
(
が0でない値に収束するm，n (
)は、
，
，また、
......[答]
のとき、④より
，また、
，
(
が0ではない値に収束する整数p，q，r (
)は、
，
，
，極限値は、
......[答]